方形等乘为起一方面熟知割补出角二分之一一方面底高[真图减-角 生3担的和革途径4当然乘计底勾股理出相的似比编写乘出角方:的 b面和aC出制1(+底)「三·出」解2→来等等的配入4 之乘i股ⅹ思广分乘共同努力把基础数角的各个环节乘各种方 面都下功夫4精分求精乘务必使勾基础数角的精股所在都[至简形 式展示在角生面前4计种至精「至简形式展现的「精简入一」乘当然 就起基础数角(够用来[简御繁的基本道理4其实乘计也就起基础数 角最(真图引人入胜的地方4 长话短说乘基础数角的「至精至简」高[熟体上用下述四套运算律 来加[′结4即 1.ⅹ入运算的运算律乃起逻辑思维的至精至简(亦即波尔代数)4 2.数系运算的运算律乃起代数角的至精至简4 3.向量运算的运算律乃起几何角的至精至简4 4.微分积分的运算律乃起分析角(亦即变量数角)的至精至简4 角习基础数角就起股角会有二地丶有系统地运用上述四套运算律去解 决℃认知熟自然ˉ的各种各样问题乘计也就起[简御繁的具体实践 它i起人类理(ⅴ明的「熟)若垂」乘起人人(懂、线M有用的熟 道理4若(把基础数角出勾精线简平丶(懂好用℃分实顶人乘角引人 入胜的基础数角起高A高B的4 [L.-]B真四边的特微四质质:(四引徵2胜 基础数角的本质C基本思示都起分实平)的乘之它的i/深入C 有系统的运用乘角而高[用来且:自然、[简御繁、,用无穷4但起 股把基础数角的出角真图互线分实顶人、引人入胜乘当然底起相有或 究的;之其ˉ好接精微著引之M乘角导实起学人生逐、步勾用上4b 述勾出两C出相必个股基本基础数角的本质C基本思示下一工深具的 以贯真的功夫乘地(把它出勾分实顶人4论两乘在题相编、C出角 方式上乘股解高(答有答其乘他同角讠/几α地体会精简的’用股 把基础数角何但出勾(懂乘之中股懂定而(广泛有用乘例有题习地( 引人入胜4 实
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让我们且以代数学上的几个实例,来对上述想法作简要的解说 (1)解代数方程原理和代数的起源 从表面的形式来看,初中代数和小学算术的差别在于代数中引进不 定元和多项式运算’然後把它们用来解代数方程式丶求公式等等。假 若我们对于由算术到代数的进化’下一番返璞归真的功夫去细致推敲 就会发现上述进化历程中真正的突破点在于下述简朴的基本思想 数系的加丶乘和指数运算满足一系列普遍成立的运算律 例如加和乘的交换律丶结合律;乘对于加的分配律和指数定则。骤看 起来,像 分配律:m:a+n·a=(m+m)·a 其所表达的是:m个a之和再加以n个a之和即为(m+m)个a之和 像这种本质十分明显的事实’虽然是普遍成立,但是它们会有什麼 用场呢?其实·整个代数学所发展的就是有系统、有效力地运用这 系列简朴丶普遍成立的数系运算律’去解决各种各样代数问题。此事 的具体做法的首次成功就是把运算律用来解代数方程式。而这个用法 的基本思想就是下述解代数方程原理 在各种各样的代数冋题之中·最为简朴的类型是某些待解的「未知 量」和某些已经给定的「已知量」之间具有某些特定的代数关系。把 这些特定的代数关系简明扼要地列述出来’就是一组含有「未知数 符号的代数方程式。所以代数学中最为简朴基本的问題就是如何由一 组代数方程式·去确定其中所含的「未知数」所应取之值’这也就是 求解代数方程。解代数方程的基本原理究竟是什麼呢?这也就是每 位开始学习代数的学生理当掌握的。它的基本想法是:那些运算律是 对于任何数都普遍成立,所以它们对于「未知数」也当然成立、可用 归根究底·解代数方程的基本原理就是有系统地运用运算律把所给 的代数方程简化’从而确定其中所含的「未知数」所应取之值,亦即 有意识丶有系统地达成化未知为已知的目的。解代数方程的原理就是 上述极为简朴的思想·而它在解决代数问題上又是那麼简明有力、妙 用无穷。当然·在教学上’我们还要谆谆善诱地由简入深’顺理成章
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地由二丶三元一次方程组’一元二次方程等入门’然後再逐步引导出 多项式运算和多项式函数的基本性质和定理 例如鸡兔同笼问题是一个同学原来已学过的问题,我们可以把它用 来作一次温故知新·解说上述原理的用法。鸡数和兔数是待解的未知 数,可以用未知数符号x,y分别表示之;而头数和足数则是已知量, 设其分别是36和108。则它们之间的代数关系就可以用下述代数式简 明扼要地表达之,即 108 用第一式可得y=(36-x),代入第二式’即得 2x+4.(36-x)=108 若以算术中一成不改按步就班地先算小括号再算中括号的办法就无法 再简化(*)一式了,因为小括号中含相未知数角是形要用上述解代数方 程原理’就可以把(*)-式用分定理逐步简化如下,即面 积 2x+4证36-4x=108 积 4证36-2x=108 积 4证36-108=2 x=(4证36-108)出2=18 由入可补,分定理的运用就足以解所算术中括号得含相未知量的之比 例代数中我们用分定理相b十地简化含相未知量的括式。我们′可 以用下述h的说法来其述实个就来简是无直而。质上影而深般的均 步,即面 例算术中基本上不用分定理,用是数学的垂线分代;及至代 数’则相b十地运用分定理去简化各种各样代数式和代数关 系,实就均步到数学的铜线分代了似 (2)归纳法和代数公式丶代数定理的发现和证明 代数学和几何学相一个本质上的差异。几何学所研讨的空间是我们 生活的所例·我们对于它的种种h和基本性质’与生俱来地相丰富的
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感性认识和相当可靠的直观·所以好多几何学上的基本定理如矩形面积 公式’相似三角形定理等等是可以直观地看到丶想象到它们应该是对 的。但是代数学所研讨的是数系的结构和各种各样公式’它们在本质 上是逐步归纳丶复化所构造而得者,它们的直观性比之于几何就相去 甚远了。长话短说’代数学中的公式和定理绝大部分都是用归纳法由 低次到高次·由一元·二元到多元逐步归纳而发现·然後再用归纳论 证去确立其正确性。因此·归纳乃是整个代数学的基本大法和基本功 但是这里要特别强调’归纳法的内含是归纳地去探索丶发现’然後 归纳地定义(例如n阶行列式用(n-1)-阶行列式加以定义),然後再 归纳地论证。唯有这样才是完整的归纳法教学’才真正能做好代数学 中·公式和定理的返璞归真’也唯有这样归根究底·才能把代数学教 得平实近人。像目下把所要证的公式定理看成书本的宣示,然後加以 归纳论证·乃是只教後半段的不完整的归纳法教学·是亟待补正的 (由插值法丶待定系数法 插值法(in湘纽o洳on)和待定系数法(m橘引o多mn和nin稻场和 枴濒是数等代数学的要基和本部性高基,而因式分质定是可以大理 地加以如兔。笼数等代数的教学题材的是体分个,学原得在已统教学 中过用大量篇理的因式分质是可以而们应该大理。的如兔。其实,以 了把用如作的公式如 知-a知解(温-a)(漲说述诜述箖述温知待述a知上 和二y定理之外,绝大部分其分因式分质的公式并别真正的用表。而们 大量的因式分质的例丶、示题也并不能:学生而加代数上的体会和头足 。而则一量面’插值法和待定系数法定是其分体现代数学基本3神 而们是6常有用丶有1的基本功。但是一般数等代数,甚0于高中代 数的教学中’却往往间兔关教,系者只是就就下明丶关加扼要。这种 就达即置的=本是亟待改正的2而把它改正明第,定是得得数等代数 的教学题材在是体上能(真正做到3如实用、一人要胜的基本途* 再者’插值法的·头其实就是韩若基术法(中量称之成中不改班定 理)·而插值法乃是代数学中先公式的根本量法。所以其教学应该笼 括
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功这里要特别强然含探索用来义(例各n有用阶行列((和行列 )+1+2+)+(唯有1完教蒯喉 )返+1返计2返+)+(《唯有1教真碗完 )也+1也+2也十)+(唯有1地教嘉 4+14+24+))+(唯有1教真 究底把阶平实近人像一一下成(阶书宣多项列可以亟索待书1里补! 由底义 强、成三元一把方像探一下成(阶行列中阶成三元一转o 等一入门一方然列阶m後一来(二、例再步由强导多n平实方把像项 u门一中运算有用阶和把和-把强人当待项u门一阶特的中多用基本 性明强逐理。o阶例把强如兔的同的笼问用把强题是问用体再 学含强原已许过量各我篇们阶例们可把一宣它用作温强故以新解几 说上法待过未符号把x阶作 祖y外分强别表示强之生而强会头算足则 过未以其n神强1神强般却8往再 1代就1)简2明要达置+=改外的 24
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