§2牛顿一莱布尼兹公式 若用定积分定义求∫f(x)女,一般来说是比较困难的。是否有 较简便的方法求∫(x)x?下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来 定理91若函数∫在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),即F(x)=f(x), x∈[a,b则f在a,b上可积,且: b∫a f(xdx= F(b)-F(a) 称为牛顿莱布尼茨公式,它常写成:(x)dk=F(x)如=F(b)-F(a) 证
1 §2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求 b a f (x)dx ，一般来说是比较困难的。是否有 较简便的方法求 b a f (x)dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。 证 称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： 则 在 上可积，且： 定理 若函数 在 上连续，且存在原函数 即 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). [ , ], [ , ] 9.1 [ , ] ( ), ( ) ( ), f x dx F x F b F a f x dx F b F a x a b f a b f a b F x F x f x b a b a b a − = = − = − =
公式使用说明: 在应用公式求(x减女时,f(x)原函数必须是初等函数,否则使用 公式求∫f(x)h失效。即f(x)原函数F(x)可由/(x)求出 2、定理的条件还可适当减弱,如: 1)、对F的要求可减弱为:在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且: F(x)=f(x).不影响定理的证明。 2)、对∫的要求可减弱为:在[a,b]上可积(不一定连续),这时 公式仍成立 3)、若定理中的F与∫同时减弱为:f在[a,b上可积,F在[a,b上连 续,且除有限个点外有F'(x)=f(x),则公式仍成立 4)、在学习连续函数必存在原函数的定理后,定理中对F的假设 便是多余的条件
2 公式使用说明： 便是多余的条件。 ）、在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对 的假设 续，且除有限个点外有 则公式仍成立。 ）、若定理中的 与 同时减弱为：在 上可积， 在 上连 公式仍成立。 ）、对 的要求可减弱为：在 上可积（不一定连续），这时 不影响定理的证明。 ）、对 的要求可减弱为：在 上连续，在（ ）内可导，且： 、 定理的条件还可适当减弱，如： 公式求 失效。即 的原函数 可由 求出。 、在应用公式求 时， 的原函数必须是初等函数，否则使用 F F x f x F f f a b F a b f a b F x f x F a b a b f x dx f x F x f x dx f x dx f x b a b a 4 ( ) ( ), 3 [ , ] [ , ] 2 [ , ] ( ) ( ). 1 [ , ] , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = =
例1、利用牛顿一莱布尼茨公式求下列定积分 1)、|xdx(m∈N,),2)、e'tr,3)|-2ax(0<a<b) 4)、smxh5、x4-x2 0 利用定积分的定义可求某些数列的极限:若待求极限的数列 通过适当的变形,能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时,则可用定积分的定义来求数列的极限 例2、用定积分的定义求极限 lim n→n+1n+2 2n 解
3 xdx x x dx dx a b x x dx n N e dx b a b a x b a n − + 2 0 2 0 2 4) sin , 5) 4 0 ). 1 1 ( ), 2) , 3) 1 、 、 ）、 、 、 （ 例 、 利用牛顿 — 莱布尼茨公式求下列定积分 利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列 通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。 解 例 、用定积分的定义求极限 + + + + n→ n + n 2n 1 2 1 1 1 lim 2
§3可积条件 个函数究竞要满足何种条件,才能可积?这是本节所要讨论的 的主要问题。 、可积的必要条件 定理92若函数∫在[a,b上可积,则∫在[a,b上一定有界。 证 定理指出,任何可积函数一定是有界的,但要注意,有界函数却不 定可积。如:狄利克雷函数 1,x∈O D(x) ,在[0,1上有界,但不可积 0,x∈R-Q 由此可见,有界是函数可积的必要条件,但不充分。 、可积的充分条件 以下讨论函数的可积性时,总是假设函数是有界的
4 §3 可积条件 一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的 的主要问题。 一、可积的必要条件 以下讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。 二、 可积的充分条件 由此可见，有界是函数可积的必要条件，但不充分。 在 ， 上有界，但不可积。 ， （ ） 定可积。如： 狄利克雷函数 定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，有界函数却不一 证 定理 若函数 在 上可积，则 在 上一定有界。 , [0 1] 0, 1 9.2 [ , ] [ , ] − = x R Q x Q D x f a b f a b
1.思路与方案 思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且亐分法亟介点无 关的条件 方案:定义上和S(7)和下和S(7),研究它们的性质和当→0 时有相同极限的充要条件 2.达布和 设T={△|1=12…n为对ab的任一分割,由在ab]上有界,它在 每一个Δ上存在上、下确界: A=sup f(x), m=inf f(x),i=1,2, ,,,n
5 1. 思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 T i 方案: 定义上和 和下和 ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. 达布和: 1,2, , [ , ] [ , ] sup ( ), inf ( ), 1,2, , . i i i i i i x x T i n a b f a b M f x m f x i n = = = = = 设 为对 的任一分割，由 在 上有界，它在 每一个 上存在上、下确界： S(T ) s(T)