·=[(]a」(+)dv"0由于=xx=V(-)+(-)+(-),因而对的函数而言，对x微分与对x微分仅差一负号，因此上式可写为uo J J(x).dv".V.A=4元用附录(1.19)式得V·A=-J"[J(x)]av"+v"J(x)d.上式右边第一项可以化为面积分，由于积分区域V包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积分为零，在右边第二项中，由恒定电流的连续性有√.Jx）=0，因此这积分亦等于零。因此，.A=0.(2.17)再计算√A.由（2.15)式，VA=[ (x)>d"= -J(x)V.dVAmrT由直接计算得，当r≠0时√·5=0，因此上式的被积函数只可能在x=x点上不为零，因而体积分仅需对包围x点的小球积分，这时可取J（x）=J（x）,抽出积分号外，而V.5dV'=-v'Sdv-'ds'注意r是由源点x指向场点x的径失，它和面元ds反向，因此上式为1ds=ΦdQ=4元.f.ds'= d因此，VA= - μoJ.(2.18)把（2.17)式和（2.18）式代人（2.16）式得·17
V ×B= μoJ.(2.11)由以上推导可见，磁场的微分方程（2.11)和（2.13)式是毕奥一萨伐尔定律的推论。毕奥一萨伐尔定律只在恒定电流情况下成立实践证明，V·B=0在一般变化磁场下也是成立的，而√×B=μoJ只在恒定情况下成立，在一般情况下需要推广例电流I均匀分布于半径为α的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。解在与导线垂直的平面上作一半径为的圆，圆心在导线轴上：由对称性，在圆周各点的磁感强度有相同数值，并沿圆周环绕方向，当r>a时，通过圆内的总电流为I，用安培环路定律得B·dl=2元rB=μol,因而B=μoI/2元r,写成矢量式为B= o1(r>a)(2.19)2元reg,式中ee为圆周环绕方向单位量，若r<a，则通过圆内的总电流为rr2J =nr?1 /na? =-应用安培环路定律得p B·dl =2nrB= Lolr?2因而B=Lolr(r<a)(2.20)2元a2eg.用柱坐标的公式（附录I.36)求B的旋度，当r>a时由(2.19)式得aBe1arV×B=(rBg)e,=0. (r>a)(2.21)aze,rar当r<a时由(2.20)式得:18:
V×B=o!(2.22)aze,=μoJ. (r<a)注意旋度概念的局域性，即某点邻域上的磁感强度的旋度只和该点上的电流密度有关：虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无旋的：83麦克斯韦方程组以上两节由实验定律总结了恒定电磁场的基本规律：随着交变电流的研究和广泛应用，人们对电磁场的认识有了个飞跃。由实验发现不但电荷激发电场，电流激发磁场，而且变化着的电场和磁场可以互相激发，电场和磁场成为统一的整体一一电磁场：和恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是：（1）变化磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）；（2）变化电场激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）下面分别讨论这两问题：1.电磁感应定律自从发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？开始人们企图探测处于恒定磁场中的固定线圈上的感应电流，这些尝试都失败了，最后于1831年法拉第发现当磁场发生变化时，附近闭合线圈中有电流通过.并由此总结出电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，其方向关系在下面说明：如图1-6，设L为闭合线圈，S为L所围的一个曲面，dS为S上的一个面元：按照惯例，我们规定L的围绕方向与dS的法线方向成右手螺旋关系：由实验测定，当通过S的磁通量增加时，在线圈L上的感应电动势与我们规定的L围绕方向相反，因此用负号表示：电磁感应定律表为:19
d8=B·dS. (3.1)dtJs线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场：因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。图1-6感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律（3.1)式可写为Ldr(3.2)E·dl=B·ds.dt JS若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中对t的全微商可代为偏微商LaB.dsDE·dl=sat化为微分形式后得aB(3.3)VXE=at这是磁场对电场作用的基本规律：由（3.3）式可见，感应电场是有旋场.因此在一般情况下，表示静电场无旋性的（1.10)式必须代以更普遍的(3.3)式2.位移电流上面我们研究了变化磁场激发电场问题，进一步我们要问，变化电场是否激发磁场？在回答这问题之前，我们先分析非恒定电流分布的特点：在第二节中我们指出恒定电流是闭合的，V·J=0.（恒定电流）在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律（2.5）式制约，它般不再是闭合的。例如带有电容器的电路实质上是非闭合的回路：在.20
电容器两板之间是绝缘介质，自由电子不能通过。电荷运动到板上时，由于不能穿过介质，就在板上积聚起来.在交流电路中，电容器交替地充电和放电，但在两板之间的介质内始终没有传导电流通过，所以，电流J在该处实际上是中断的：一般来说，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有aeoV·J=at现在我们考察电流激发磁场的规律(2.11)式(2.11)V×B=μoJ.取两边散度，由于·V×B=0，因此上式只有当√·J=0时才可能成立.在恒定情况，电流J是闭合的，V·J=0，（2.11)式在理论上是没有矛盾的。但是，在非恒定情形，一般有√J≠0，因而(2.11)式与电荷守恒定律发生矛盾.由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，而（2.11）式仅是根据恒定情况下的实验定律导出的特殊规律，在两者发生矛盾的情形下，我们应该修改（2.11)式使服从普遍的电荷守恒定律的要求：把（2.11)式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量Jp，它和电流J合起来构成闭合的量(3.4)V.(J+Jp)=0并假设位移电流Jp与电流J一样产生磁效应，即把(2.11)修改为(3.5)×B=μo(J + JD).此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由条件（3.4)式可导出Jp的可能表示式.由电荷守恒定律(2.5)式,ag=0(3.6)V·J+at电荷密度与电场散度有关系式V·E=P(3.7)E0:21