S 2.2 唯一性定理Uniqueness Theorem·知识要点一介质中静电问题静电问题定解需要什么条件（解唯一）？的唯一性定理解决实际问题的依据：一有导体存在时的无论何种方法，获得的满足条件的解必是该问唯一性定理题唯一的正确的解；
• 知识要点 –介质中静电问题 的唯一性定理 –有导体存在时的 唯一性定理 • 静电问题定解需要什么 条件（解唯一）？ • 解决实际问题的依据： 无论何种方法，获得的 满足条件的解必是该问 题唯一的正确的解； §2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem
1.静电问题的唯一性定理表述：设区域V内有给定的电荷分布p(x)。V可以被分1为若干个均匀、各向同性的区域V，每个小区域内介电常数为。电势在均匀区域V内满足泊松方程：=-P有几个区域，就有几个方程相关。8在两区域V和V的分界面上满足边值关系：apand=88;P, =PjVonan在V的边界S上给定ap并且的关系orDOnls盛的关系则V的电场唯一确定
1. 静电问题的唯一性定理 ① 表述：设区域V内有给定的电荷分布ρ(x)。V可以被分 为若干个均匀、各向同性的区域Vi，每个小区域内介电 常数为εi。电势在均匀区域Vi内满足泊松方程： i = − 2 在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系： j j i i j i n n and = = 在V的边界S上给定 S S n or 则V的电场唯一确定。 有几个区域，就 有几个方程相关。 并且的关系 或的关系
证明：反正法设有两组不同的解β和β”满足唯一性定理的条件。令=p'-"V?g'=-P>则每个均匀区域V内8-Vo"=-P81>在两均匀区域界面上有ap'ap'88aeP=ΦananapiCPa"ananap'"=08i8onan1
➢则每个均匀区域Vi内 ② 证明：反正法 ➢ 设有两组不同的解 和 满足唯一性定理的条件。令 = − 0 2 2 = = − = − i i ➢在两均匀区域界面上有 n n n n n n j j i i j j j i i j j i i i j i j i j = = = = = =
>在整个区域V的边界S上有="===s"=0或apapap"=0解在边界上相同OnlsanOnCS为什么是这个积>考虑第i个区域V的界面S上的积分分而不是其它？.spp.ds两种边界和的法向导数的乘积[..(,pp)dv(,(V)dV + (,VpdvV2 @=0
➢在整个区域V的边界S上有 = = 0 = − = 0 S S S S S 或 = 0 − = n S n S n S 解在边界上相同 ➢考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分 S i dS 为什么是这个积 分而不是其它？ ( ) ( ) = + = i i i V i V i V i dV dV dV 2 2 两种边界φ和φ的 法向导数的乘积 ▽2 φ=0
.p.ds=(,(vp)dv即对所有分区V,求和得Ef, ,op ds -E,e,(vo) dv该式左边为零。因为两均匀区域V和V的分界面上和V的法向分量分别相等，但dS;二--dS。故左边求和，内部分界面的积分互相抵消，只剩下整个V的边界S上的积分。S上或√的法向分量等于零。P和只差一常量都描述同一电场。Ef,(Vp) dV= 0因此有上式成立，只有在V内各点√=0，即=常量
即 ( ) = i Vi i S i dS dV 2 对所有分区Vi求和得 ( ) = i V i i S i i i dS dV 2 ➢ 该式左边为零。因为 ✓ 两均匀区域Vi和Vj的分界面上φ 和ε▽φ的法向分量分别 相等，但dSi=- dSj。故左边求和，内部分界面的积分互 相抵消，只剩下整个V的边界S上的积分。 ✓ S上φ 或▽φ的法向分量等于零。 因此有 ( ) 0 2 = i V i i dV 上式成立，只有在V内各点▽φ=0，即φ =常量。 φ ΄和φ ΄΄只差一常量， 都描述同一电场