电动力学习题参考第六章 狭义相对论1，证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的证明：根据题意，不妨取如下两个参考系，并取分别固着于两参考系的直角坐标系，且令=0时，两坐标系对应轴重合，计时开始后，Z'系沿Z系的x轴以速度v作直线运动根据伽利略变换，有：zE42x'=x-vty'=y= 2t'=txXO.1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的：d'x以牛顿第二定律为例：F=mdt?dx在Z系下，：F=m-dt?"x'=x-vt,y'=y,2'=z,t'- td'[x'+vt,y',z'] md'x'..F=m-Fdt2dt"2nd3x可见，在Z'系中，牛顿定律有相同的形式，F'==mdt'2所以，牛顿定律在伽利略变换下是协变的。2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的aB以真空中的麦氏方程V×E=为例，设有一正电荷q位于O点，并随系运动，atq在Z中，q是静止的，故：E=B'=0-e,4元50aB'于是，方程V'×E'=成立。at'q将E'=é，写成直角分量形式；4元6012x'qE'=一ey4元。 (x"2 + y"2 +2"2)(x"2 + y2 + ="2)-e.1x-1-
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 1 - 1 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 证明 根据题意 不妨取如下两个参考系 并取分别固着于两参考系的直角坐标系 且令 t 0 时 两坐标系对应轴重合 计时开始后 Σ′ 系沿Σ 系的 x 轴以速度 v 作直线运动 根据伽利略变换 有 ′ = ′ = ′ = ′ = − t t z z y y x x vt 1 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律为例 2 2 dt d x F m v v = 在Σ 系下 2 dt dx F m && v v = Q x′ = x − vt, y′ = y,z′ = z,t′ = t F dt d x m dt d x vt y z F m r v v = ′ ′ ′ = ′ ′ ′ + ′ ′ ∴ = 2 2 2 2 [ , , ] 可见 在Σ′ 系中 牛顿定律有相同的形式 2 2 dt d x F m ′ ′ ′ == ′ v v 所以 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 2 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程 t B E ∂ ∂ ∇ × = − v v 为例 设有一正电荷 q 位于O′点 并随Σ′ 系运动 在Σ′ 中 q 是静止的 故: r e r q E ′ ′ ′ = v v 2 4πε 0 , B′ = 0 v 于是 方程 t B E ∂ ′ ∂ ′ ∇′× ′ = − r v 成立 将 r e r q E ′ ′ ′ = v v 2 0 4πε 写成直角分量形式; + ′ + ′ + ′ ′ + ′ + ′ + ′ ′ ′ = x′ ey′ x y z y e x y z q x E v v v 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 ( ) ( ) [ 4πε ] ( ) 2 3 2 2 2 z e x y z z ′ ′ + ′ + ′ ′ + v z o x y z’ o’ x’ Σ Σ′ y’ r v r′ v v v
电动力学习题参考第六章狭义相对论由伽利略变换关系有：在中，x-vE=_qe.+460 [(x-) + y2 +2[(x-v)? + y? +22)7[x-w)*+y° +2*?3q..VxE=-[(y-z)e. +460 [(x-v1)? + y2 +23]%+(z-x+vt)e, +(x-vt-y)e.)可见V×E不恒为零。又在Z系中观察，q以速度vé.运动，故产生电流J=gveHoqv于是有磁场B=（R是场点到x轴的距离）2元ROB此时有=0atVxE*_B于是at故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。2．设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l。，它们以相同的速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。解：根据相对论速度交换公式，可得，系Z4Z.21V相对于，的速度大小是：Z2,2v21+c?0,0.x,x：在Z，系中测量2，系中静长为1。的X0尺子的长度为：- 2 -
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 2 - 由伽利略变换关系有 在Σ 中 + − + + + − + + − = x y e x vt y z y e x vt y z q x vt E v v v 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 [( ) ] [( ) ) { 4πε z e x vt y z z v 2 3 2 2 2 [( − ) + + ) + − + − + + ∴∇ × = − x y z e x vt y z q E v v [( ) [( ) ] 3 4 2 3 2 2 2 πε 0 ( ) ( ) ] y z z x vt e x vt y e v v + − + + − − 可见 E v ∇ × 不恒为零 又在Σ 系中观察 q 以速度 v x e v 运动 故产生电流 x J qve v v = 于是有磁场 R qv B π µ 2 0 = R 是场点到 x 轴的距离 此时 有 = 0 ∂ ∂ t B v 于是 t B E ∂ ∂ ∇ × ≠ − v v 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 2 设有两根互相平行的尺 在各自静止的参考系中的长度均为 0l 它们以相同的速率 v 相 对于某一参考系运动 但运动方向相反 且平行于尺子 求站在一根尺子上测量另一根 尺子的长度 解 根据相对论速度交换公式 可得 ′ Σ2 系 相对于 ′ Σ1 的速度大小是 2 2 1 2 c v v v + ′ = ∴在 ′ Σ1 系中测量 ′ Σ2 系中静长为 0l 的 尺子的长度为 O Z X ′ 2 x ′ 2 o ′ 2 z ′ 1 z v v ′ 1 o ′ 1 x ′ Σ2 ′ Σ1 v v
电动力学习题参考第六章狭义相对论122v代入1=1V21+2121-O此即是在2，系中观测到的相对于2，静止的尺子的长度。即得1=1。b21+3.静止长度为l。的车厢，以速度v相对于地面s运行，车厢的后壁以速度uo向前推出一个小球，求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间。解：根据题意，取地面为参考系S，车厢为参考系S于是相对于地面参考系S，12uo+y车长：1=10/1球速：u=车速：Vo1+uov故在地面参考系S中观察，小球在此后，由车后壁到车前壁Duoylo(1+1021c?A=uo+vu-y1Uo1uovc21+c?4一辆以速度V运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是1。。解：由题意，得右示意图。取地面为静止的参考系，列车为运动的参考系。取x轴与x轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为Z系与的原点，如图。的时间后，同时照亮左右两塔在Z系中，光经过1=Z(z)c左右cC但在系中，观察两塔的位置为：loA(.x右=lV-Bl。v2Ccx=l.10x--+X>2+nx'-3 -
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 3 - 2 2 0 1 c v l l ′ = − 代入 2 2 1 2 c v v v + ′ = 即得 2 2 2 2 0 1 1 c v c v l l + − = 此即是在 ′ Σ1 系中观测到的相对于 ′ Σ2 静止的尺子的长度 3 静止长度为 0l 的车厢 以速度 v 相对于地面 s 运行 车厢的后壁以速度 0 u 向前推出一 个小球 求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间 解 根据题意 取地面为参考系 S 车厢为参考系 S′ 于是相对于地面参考系 S 车长 2 2 0 1 c v l = l − 车速 v 球速 2 0 0 1 c u v u v u + + = 故在地面参考系 S 中观察 小球在此后 由车后壁到车前壁 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 1 (1 ) 1 1 c v u c u v l v c u v u v c v l u v l t − + = − + + − = − ∆ = 4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者 在经过某一高大建筑物时 看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花 电光迅速传播 先后照亮了铁路沿线上的两铁塔 求列车上观察者看到的 两铁塔被电光照亮的时间差 设建筑物及两铁塔都在一直线上 与列车前进方向一致 铁 塔到建筑物的地面距离已知都是 0l 解 由题意 得右示意图 取地面为静止的参考系Σ 列车为运动的参考系Σ′ 取 x 轴与 x′ 轴平行同向 与列车车速方向一致 令t = 0 时刻为列车经过建筑物时 并 令此处为Σ 系与Σ′ 的原点 如图 在Σ 系中 光经过 c l t 0 = 的时间后 同时照亮左右两塔 但在Σ′ 系中 观察两塔的位置为 (1 ) 1 2 2 0 0 0 c v c v l x l v vl − − 右 ′ = − β = 左 c c 右 Z(z’) o o’ Σ′ v 0 x = −l x x’ 0 x = l
第六章电动力学习题参考狭义相对论l.(1+)x左=-lov-Bvlo12C1-C2loV.d右=x右-0=(1-D2c2lo(1+)d左=x左一o=C121-c?时间差为：d_d右oAt =cc12c1c25.有一光源S与接收器R相对静止：距离为1：S一R装置浸在均匀无限的液体介质（静正折射率n中，试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。（1）液体介质相对于S一R装置静止（2）液体沿着S一R连线方向以速度v运动（3）液体垂直于S一R连线方向以速度v运动解：1）液体介质相对于S一R装置静止时：Sj = nloc2）液体沿着S一R连线方向以速度v运动：取固着于介质的参考系E，Z'系沿x轴以速度v运动，在Z系中测得光速在各个方向上均是=1由速度变换关系得在系中，沿介质运动方向的光速：C+Vy=n1+cn(1 +cn.R接收到讯号的时间为At=C+n3）液体垂直于S一R连线方向以速度v运动同（2）中取相对于S-R装置静止的参考系为系，相对于介质静止的系为Z系，如下建立坐标：- 4 -
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 4 - (1 ) 1 2 2 0 0 0 c v c v l x l v vl + − 左 ′ = − − β = − (1 ) 1 2 2 0 c v c v l d x o − − ∴ 右 ′ = 右 ′ − ′ = (1 ) 1 2 2 0 c v c v l d x o + − 左 ′ = 左 ′ ′ = 时间差为 2 2 2 0 2 2 0 1 2 (1 ) (1 ) 1 1 c v c vl c v c v c c v l c d c d t − = + − − − = ′ − ′ ∆ = 左 右 5. 有一光源 S 与接收器 R 相对静止 距离为 l S R 装置浸在均匀无限的液体介质 静 止折射率 n 中 试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间 1 液体介质相对于 S R 装置静止 2 液体沿着 S R 连线方向以速度 v 运动 3 液体垂直于 S R 连线方向以速度 v 运动 解 1 液体介质相对于 S R 装置静止时 c nl t 0 ∆ 1 = 2 液体沿着 S R 连线方向以速度 v 运动 取固着于介质的参考系Σ′ Σ′ 系沿 x 轴以速度 v 运动 在Σ′ 系中测得光速在 各个方向上均是 n c 由速度变换关系得在Σ 系中 沿介质运动方向的光速 cn v v n c v + + ′ = 1 ∴R 接收到讯号的时间为 v n c l cn v t + + ∆ = 0 2 (1 ) 3 液体垂直于 S R 连线方向以速度 v 运动 同 2 中取相对于 S-R 装置静止的参考系为Σ 系 相对于介质静止的系为Σ′ 系 如下建立坐标
yA电动力学习题参考第六章狭义相对论i,=-R可见，u=-Vu,nc2uIno'0xSX在系中，测得y方向上的速度：12C2v2c2b2u,y:c2n?c2Vn?u=1+uy(-v).v1+/-ccc2v2..At, =c21,2n?6.在坐标系Z中有两个物体都以速度u沿x轴运动，在Z系看来，它们一直保持距离1不变。今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？解：根据题意，系，取固着于观察者上的参考系又取固着于A，B两物体的参考系为"系在中，A,B以速度u沿x轴运动，相距为1，在系中，A，B静止相距为lo，有：1=101..1ou?c3又系相对于Z以速度V沿X轴运动Z”系相对于系以速度u沿x轴运动由速度合成公式，Z”系相对于系以速度u-vv=沿x轴运动1_c2在叉系中看到两物体相距：BW2I'= l.cuv1-c37.一把直尺相对于系静止，直尺与x轴交角①，今有一观察者以速度V沿x轴运动，他看到直尺与x轴交角'有何变化？-5-
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 5 - 可见 u v ′ x = − 2 2 2 v n c u′ y = − t ∴在Σ 系中 测得 y 方向上的速度 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 c v v n c c v v c v v n c c u v c v u u x y y − − = − ⋅ + − − = ′ + ′ − = 2 2 2 2 2 0 3 1 v n c c v l t − − ∴∆ = 6. 在坐标系Σ 中有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动 在Σ 系看来 它们一直保持距离 l 不 变 今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动 他看到这两个物体的距离是多少 解 根据题意 Σ′ 系 取固着于观察者上的参考系 又取固着于 A B 两物体的参考系为Σ′′系 在Σ 中 A,B 以速度 u 沿 x 轴运动 相距为 l 在Σ′′系中 A B 静止相距为 0l 有 2 2 0 1 c u l = l − 2 2 0 1 c u l l − ∴ = 又Σ′ 系相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴运动 Σ′′系相对于Σ 系以速度 u 沿 x 轴运动 由速度合成公式 Σ′′系相对于Σ′ 系以速度 2 1 c uv u v v − − ′ = 沿 x 轴运动 ∴在Σ′ 系中看到两物体相距 2 2 2 2 2 0 1 1 1 c uv c v l c v l l − − = ′ ′ = − 7. 一把直尺相对于Σ 系静止 直尺与 x 轴交角θ 今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动 他 看到直尺与 x 轴交角θ ′有何变化 y y’ o x’ o’ s x u y v ′ R u v x ′ =− v n c