为β,平均速度为，则电流密度为(2.3a)J-pv如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为βi，平均速度为wi，有(2.3b)Pivi现在我们研究电磁理论的条最基本的实验定律一电荷守恒定律.我们知道，物体所带的电荷是构成物体的粒子（电子、质子等)的一个属性。不论发生任何变化过程，如化学反应、原子核反应甚至粒子的转化，一个系统的总电荷严格保持不变·这是到目前为止人们所知道的自然界精确规律之一：电荷守恒定律在数学上用连续性方程表示.考虑空间中一确定区域V，其边界为闭合曲面S.当物质运动时，可能有电荷进人或流出该区域，但是由于电荷不可能产生或消灭，如果有电荷从该区域流出的话，区域V内的电荷必然减小.通过界面流出的总电流应该等于V内的电荷减小率apdyJ·ds-(2.4)这是电荷守恒定律的积分形式：应用高斯定理把面积分变为体积分J·ds=·JdV即得微分形式ag=0V·J+(2.5)at上式称为电流连续性方程，它是电荷守恒定律的微分形式，如果在（2.4)式中的V是全空间，S为无穷远界面，由于在S上没有电流流出，因而（2.4)式左边的面积分为零，由此式得dodV=0,dt J表示全空间的总电荷守恒：:12
以上公式是对任意变化电流成立的，在恒定电流情况下，一切物理量不随时间而变，因而ap/at=0,因此由(2.5)式得V·J=0.（恒定电流）(2.6)上式表示恒定电流的连续性·恒定电流分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点：换句话说，恒定电流（直流电）只能够在闭合回路中通过，电路一断，直流电就不能通过，这是我们熟知的事实。2.毕奥一萨伐尔（Biot一Savart)定律下面我们研究电流和磁场的相互作用，实验测出两个电流之间有作用力：和静电作用一样，这种作用力也需要通过一种物质作为媒介来传递，这种特殊物质称为磁场，电流激发磁场，另一个电流处于该磁场中，就受到磁场对它的作用力，对电流有作用力是磁场的特征性质，我们就利用这一特性来描述磁场·实验指出，一个电流元Idl在磁场中所受的力可以表为(2.7)dF=IdIXB矢量B描述电流元所在点上磁场的性质，称为磁感应强度.恒定电流激发磁场的规律由毕奥一萨伐尔定律给出：设Jx）为源点x上的电流密度，r为由x点到场点x的距离，则场点上的磁感应强度为B(x)=[ (xXrdv".(2.8a)r34元式中uo为真空磁导率，积分遍及电流分布区域·如果电流集中于细导线上，以dl表示闭合回路L上的线元，dS，为导线横截面元，则电流元JdV'=JdS,di=JdS,dl，对导线截面积分后得Id因此，细导线上恒定电流激发磁场的毕奥一萨伐尔定律写为B(x)=o IdIXr(2.8b)4元93毕奥一萨伐尔定律是磁场分布规律的积分形式·为了反映磁作用力在场中传递的特点，我们还须再深入一步，找出一个电流和:13
它邻近的磁场的关系，以及一点上的磁场和邻近点上的磁场的关系，即要找出磁场规律的微分形式，下面我们先从电磁学总结出的定律得到磁场的旋度和散度公式，然后在第5小节中再由毕奥一萨伐尔定律给出这些公式的一般推导3.磁场的环量和旋度在电磁学中我们知道，载电流导线周围磁场的磁感线总是围绕着导线的一些闭合曲线，磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围曲面的电流「成正比，$, B-dl= μol,(2.9)式中L为任一闭合曲线，I为通过L所围曲面的总电流.（2.9)式称为安培（Ampere)环路定律，它可以由毕奥一萨伐尔定律导出：现在我们先就一特例验证（2.9）式：如图1-5，设有一根无穷长直线导线，载有电流I.用毕奥一萨伐尔定律可以求出这电流激发的磁感强度MolB=2元r式中r为场点到导线的垂直距离，磁感线是围绕该导线的圆周。若选半径为r的圆周图1-5作为闭合回路L，有+, Bdl = 20l 2xr= μol.2元r如果所选的闭合曲线内没有电流通过，如图1-5中的回路PQRSP，可以证明沿此回路的磁场环量等于零：事实上，沿此回路的积分可分四段计算.沿径向的SP和QR段，由于磁场与dI方向正交，因此这两段积分为零：设圆弧PQ的半径为r2，弧长为l2,圆弧RS的半径为r1，弧长为11,这两段积分值为.14:
Hl,Mol2元122元r由于l/r，=l/r1，因此上式为零.由此，对闭合回路PQRSP的磁场环量为零.B·dl=0总言之，在安培环路定律（2.9）式中，I为通过闭合曲线L所围曲面的总电流，不通过L所围曲面的电流对环量没有贡献：因此，环路定律可以用来导出电流与其邻近磁场的关系，和其他地方流过的电流无关：对于连续电流分布J，在计算磁场沿回路L的环量时，只需考虑通过以L为边界的曲面S的电流，在S以外流过的电流没有贡献·因此，环路定律表为oB·dl=p(2.10)J.ds.(2.9)或（2.10)式是电流与磁场关系的积分形式：为了求得微分形式，我们把回路L不断缩小，使它围绕着一个面元dS.这时（2.10)式左边趋于V×B·dS，右边趋于uoJ·dS，由dS的任意性得VXB=μoJ.(2.11)上式是恒定磁场的一个基本微分方程：4。磁场的散度为了确定磁场，除了给出旋度外，还需要给出它的散度，由电磁学的知识，我们知道由电流激发的磁感应线总是闭合曲线·因此，磁感应强度B是无源场：表示B无源性的积分形式是B对任何闭合曲面的总通量为零Φ B·ds=0,(2.12)J s微分形式是V·B=0.(2.13)B的无源性也可以由毕奥一萨伐尔定律直接证明.这里我们把它15
作为磁场分布的一条基本规律引入，在下一小节中再证明（2.11)和（2.13）式与毕奥一萨伐尔定律是一致的由电流所激发的磁场都是无源的。但是，自然界中是否存在与电荷相对应的磁荷作为磁场的源呢？如果磁荷存在的话，和电荷作为电场的源一样，磁荷也作为磁场的源，这时一般来说·B十0.近年来对于磁单极子（孤立的磁荷）存在的可能性有不少讨论，实验上也一直在找寻带有磁荷的粒子。但是，到现在还没有任何关于磁单极子存在的确实证据，因此，在假定磁荷不存在的前提下，我们可以把（2.13）式作为磁场的一条基本规律.（2.11）和(2.13)式是恒定磁场的基本微分方程：5.磁场旋度和散度公式的证明现在我们用毕奥一萨伐尔定律推导(2.11)和(2.13)式：由（2.8a)式B=oJ J(x)×rdv"= J J(x)xv↓dv.r34元注意算符V是对x的微分算符，与x无关，由附录（I.20)式可得×[ J(x)] =()×J(x),因此J(x)dV'=V XA,B=×(2.14)4元式中A = [ J(x)d(2.15)4元r由附录(1.15)式，VB=V·(V XA)=0(2.13)式得证：再计算B的旋度，由（2.14)式和附录（1.25)式，V XB=V X(V XA)=V(V·A)-VA.(2.16)先计算√·A：由（2.15）式和附录（I.19）式，注意√不作用于J(x)上,得: 16: