S2.4镜像法Methodof Images一般的静电场问题是求解满·知识要点足边界条件和边值关系的Poisson's equation ;一镜像法能求解的所考虑的区域内没有自由电问题特征荷分布时，满足Laplace“sequation方程，用分离变量一依据唯一性定理法求解场分布；一例题所考虑区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，用镜象法求解场分布
§2.4 镜像法 Method of Images • 知识要点 –镜像法能求解的 问题特征 –依据唯一性定理 –例题 • 一般的静电场问题是求解满 足边界条件和边值关系的 Poisson's equation ； • 所考虑的区域内没有自由电 荷分布时，满足Laplace‘s equation方程，用分离变量 法求解场分布 ； • 所考虑区域内只有一个或者 几个点电荷，区域边界是导 体或介质界面，用镜象法求 解场分布
S2.4镜像法MethodofImages1.镜像法求解的问题特征区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体（或介质界面）；导体外否电场，是由Q和感应电荷（或极化电荷）共同激发。感应电荷（或极化电荷）分布未知！2.镜像法的等效思想》感应电荷（或极化电荷）对场的影响能否用导体（或介质）内部某个或某几个假想的电荷等效地来代替呢？答案是肯定的！唯一性定理是其理论基础
§2.4 镜像法 Method of Images 1. 镜像法求解的问题特征 ➢ 区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体（ 或介质界面）； ➢ 导体外否电场，是由Q和感应电荷（或极化电荷）共 同激发。感应电荷（或极化电荷）分布未知！ 2. 镜像法的等效思想 ➢ 感应电荷（或极化电荷）对场的影响能否用导体（ 或介质）内部某个或某几个假想的电荷等效地来代 替呢？答案是肯定的！唯一性定理是其理论基础
说明：自由电荷称为原电荷，等效的假想电荷称为像电荷；1)像电荷只有等效（产生的电场）作用，并不实际存在，实际存在的是分布未知的感应电荷或极化电荷：3空间中的电场就是原电荷和像电荷产生的电场叠加；4只要在所讨论的区域内，电场一样就可以了，并不考虑区域外的场的不一致。即放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数电场；5象电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等；问题归结为：根据边界条件来确定像电荷的位置和带电量；?7能够求解要求：导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）；场区域是点电荷，无限长带电直线
说明： ① 自由电荷称为原电荷，等效的假想电荷称为像电荷； ② 像电荷只有等效（产生的电场）作用，并不实际存在，实际存 在的是分布未知的感应电荷或极化电荷； ③ 空间中的电场就是原电荷和像电荷产生的电场叠加； ④ 只要在所讨论的区域内，电场一样就可以了，并不考虑区域外 的场的不一致。即放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或 介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其 介电常数应是所研究场域的介电常数电场； ⑤ 象电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实 的感应电荷或极化电荷相等； ⑥ 问题归结为：根据边界条件来确定像电荷的位置和带电量； ⑦ 能够求解要求：导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面 （球面、柱面、平面）；场区域是点电荷，无限长带电直线
3.镜像法的运用写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；由给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置：由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；电荷分布、根据需要要求出场强、电场作用力以及其它量如电容等。Z4.应用举例【例1】接地无限大平面导体板a附近有一点电荷，其电量为XQ，距板a处，求空间中的势0分布
3. 镜像法的运用 ➢ 写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； ➢ 由给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； ➢ 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； ➢ 根据需要要求出场强、电荷分布、电场作用力以及 其它量如电容等。 4. 应用举例 【例1】接地无限大平面导体板 附近有一点电荷，其电量为 Q，距板a处，求空间中的势 分布。 O x z Q a
解：根据静电屏蔽可判定接地导体板下半空间没有电场。上半空间的电场是Q及导体板上的感应电荷共同产生的。。点电荷Q和导体板达到静电平衡后，导体板是等势体，导体板面上等势面；边界条件为1)相对电荷Q无穷远处电势为零：②导体面上电势为零（无穷大，等势）。则导体板的上半区域，电势满足的定解方程为：-= Q8(x, y, z - a)(1)70-6(2)= 0LR→(3)1Z=0。求解空间是导体板的上半区域（z>0），如不改变求解区域的电荷分布，像电荷应该在导体板上或下方；
解：根据静电屏蔽可判定接地导体板下半空间没有电场。 上半空间的电场是Q及导体板上的感应电荷共同产生的。 • 点电荷Q和导体板达到静电平衡后，导体板是等势体， 导体板面上等势面；边界条件为①相对电荷Q无穷远处 电势为零；②导体面上电势为零（无穷大，等势）。 = = = − − = → 0 (3) 0 (2) ( , , ) (1) 1 0 0 2 z R Q x y z a • 则导体板的上半区域，电势满足的定解方程为： • 求解空间是导体板的上半区域（z>0），如不改变求解 区域的电荷分布，像电荷应该在导体板上或下方；