面元，以外法线方向为正向，通过闭合曲面S的电场E的通量定义为面积分$ e·ds.ds由库仑定律可以推出关于电通量的高斯定理CQbE-ds=a(1.6)E0式中Q为闭合曲面内的总电荷图1-2高斯定理证明如下：如图1-2，设曲面内有一电荷Q，其电场通过面元ds的通量为QE·ds=EcosodS:cosedS4元E0式中e为ds与r的夹角，dScos为面元投影到以r为半径的球面上的面积.cosadS/2为面元dS对电荷Q所张开的立体角元d2.因此，E对闭合曲面S的通量为$dn=QOE·ds-4元0Eo如果电荷在闭合曲面外，则它发出的电场线穿人该曲面后再穿出来，因而对该闭合曲面的电通量没有贡献：在一般情况下，设空间中有多个电荷Q，则E通过任一闭合曲面S的总通量等于S内的总电荷除以e。，而与S外的电荷无关，$E·dS=1ZQ.(Q:在S内)(1.6')-如果电荷连续分布于空间中，则E对闭合曲面S的通量为E·ds=odV.(1.7)S式中V为S所包围的体积.上式右边是V内的总电荷，与V外的电荷分布无关(1.6)或（1.7)式是高斯定理的积分形式为了求出电荷与电7
场的局域关系，即在空间无穷小区域内的关系，我们把（1.7）式中的体积V不断缩小，根据矢量场散度的定义（附录I.4式），（1.7）.1式左边趋于电场E的散度乘上体积元dV，而右边趋于pdV,因EO此V·E=P.(1.8)Eo这就是高斯定理的微分形式，它是电场的一个基本微分方程，上式指出，电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷：在没有电荷分布的地点，0（x）=0,因而在该点上√·E=0，表示在该处既没有电场线发出，也没有电场线终止，但是可以有电场线连续通过该处：(1.8）式反映电荷对电场作用的局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地点的电荷分布无关；电荷只直接激发其邻近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的，只有在静电情况下，远处的场才能以库仑定律形式表示出来，而在一般运动电荷情况下，远处的场不能再用库仑定律（1.3）式表出，但实验证明更基本的局域关系（1.8）式仍然成立.3.静电场的旋度散度是矢量场性质的一个方面，要确定一个失量场，还需要给出其旋度.旋度所反映的是场的环流性质，从直观图象来看，静电场的电场线分布没有旋涡状结构，因而可以推想静电场是无旋的.下面我们用库仑定律来证明这一点，先计算一个点电荷Q所激发的电场E对任一闭合回路L的环量SEdl,式中dI为L的线元（图1-3）.由库仑定律得+ E d=%+ 5 d.:8:
设dl与r的夹角为e.则r·dld=rcosodl=rdr，因而上式化为dtCQddrPEdl==4元2Q Φd(1)-4元0右边被积函数是一个全微分：从I的任一点开始，绕L一周之后回到原图1-3地点，函数1/r亦回到原来的值，因而的回路积分为零、由此得6(1.9)E·dl=0以上证明了一个点电荷的电场环量为零对于一般的静止电荷分布，每个电荷元所激发的电场环量为零，由场的叠加性，总电场E对任一回路的环量恒为零，即（1.9)式对任意静电场和任一闭合回路都成立把（1.9）式化成微分形式就可以求出静电场的旋度：为此把回路L不断缩小，使它包围着一个面元dS，根据旋度的定义（附录I.5式），（1.9)式左边趋于V×E·dS由dS的任意性得(1.10)VXE=0.这就证明了静电场的无旋性实践表明，无旋性只在静电情况下成立，在一般情况下电场是有旋的，在第三节中我们再说明一般情况下电场的旋度：（1.8）和（1.10)式给出静电场的散度和旋度，它们表示电荷激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规律，它们所反映的物理图象是：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通过；在静电情形下电场没有旋涡状结构：例电荷Q均匀分布于半径为a的球体内,求各点的电场强9
.度，并由此直接计算电场的散度，解作半径为r的球（与电荷球体同心）．由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向：当r>α时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得E·dS=4xr?E=QUEO因而QE=24元E0Y写成矢量式得Qr(r>a)(1.11)E=4元eor若r<a，则球面所围电荷为Qr3Q3xr'p4.33元个Q343元a3应用高斯定理得Qr3E·dS=4元r2E=9E0a3由此得Qr(r<a)(1.12)E=4元0a3现在计算电场的散度.当r>a时E应取（1.11)式，在这区域r0，由直接计算可得V.F=0,(r≠0)1因而Qv.5V·E:=0.(r>a)-4元013当r<α时E应取(1.12)式，由直接计算得:10:
156136Q3Q三见VE:(r<a):4元e0a4元0a0由这例子我们看出散度概念的局域性质，虽然对任一个包围着电荷的曲面都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内，在没有电荷分布的空间中电场的散度为零，82电流和磁场本节讨论磁场的基本规律：磁场是和电流相互作用的，在讨论磁场之前，先说明电流分布的规律性：1，电荷守恒定律导线上的电流通常用通过导线截面的总电流强度I描述，很多情况下，我们不但要知道总电流，而且要知道电流在导体内是怎样分布的，例如直流电通过一根导线时，在导线截面上，电流是均匀分布的。但是高频交流电通过同一根导线时，电流在截面上不再是均匀分布，而是几乎集中到导线表面上.因此，我们必须引人电流密度来描述电流的分布情况如图1-4,设ds为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流方向有夹角9.定义电流密度J，它的方向沿着该点上的电流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，从而通过面元dS的电图1-4流dI为(2.1)dI=IdScos=J.ds通过任一曲面S的总电流强度I为(2.2)L-J-ds如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度:11