证1°由无界性，3x,:xn|>1,进而3xm2:xm,|>max2,x,1}, 反复使用无界性，如此得{x} |x,>max{k,工-1}，k=2,3,…, 川x}为无穷大量. 2°因|xn|+o∞故3M>0,VN>0,3n>N,使得|x,1≤M.于 是对k=1,3n1>1,使得|x,|≤M,对N2=max2,n1{,3n2>N2,使得 |x,≤M,…,如此下去可得一有界子列{x{.从而由致峦性原理知 {工}中存在收敛子列{工%. ☆*1.2.11设函数f(x),g(x)在0的某个邻域里有定义g(x)>0, 吗铝-1：且时。n0(m=1,2,a,亦即V>0,3N(e)> 0,当n>N(e)时，一切m=1,2,…,n,有|amm|<e;另设amm卡0.试证 (.)) (1) 当右端极限存在时成立 证记(1)式右端m∑g(a)=A,收敛必有界，故了M>0,使得 0<∑g(a)≤M.VE>0,3N,>0,当n>N时 |g(a)-A< 已知吗铝-1，对上述6>0,1>0，当1<8时有器< 2但am0(当n→o时，关于m=1,2,,n一致).所以对此8>0， 3N2>0,当n>N2时，有|am.m【<8(m=1,2,…,n),从而 8-1水京(m=1,2,,a).取N=mxN,N,则当>N 时， 1ge)-A=2[(g8-+1]ga)-A ·31
≤g{8-ee…*go…)a 故(1)式左端极限也为A. ☆1212证明一会(+小会京=古并求 m(a√-')(a>0 3 证 记1+-1,则 (+）-n 0<a,= [+(+号 →0 故a.m0关于i=1,2,…,n(当n→o∞时). 因1+=(1+a户=1+3a.+3a.+a2放 。3 3=a++ 3 记g(x)=x+x2+ 铝=1 3,f八x）=x,则im 利用上题的结果， =2+-小-2a)==会sa) 最后ir1=(安)+e=at(当n). ☆§1.3求极限值的若干方法 导读考研热点，适合各类读者、 用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先得知道极限的猜 ·32·
测值A.但通常只给定了数列{x,},对它的极限A不得而知.那 么，如何根据x,的表达式，求出极限A呢？此问题一般来说比较 困难，没有统一的方法.只能根据具体情况进行具体的分析和处 理.这里只概括人们常用的若干方法，更多的方法，有赖于人们去 创造和发现. 一、利用等价代换和初等变形求极限 a.等价代换 要点在求乘除式极限里，其因子可用等价因子代替，极限不 变.最常用的等价关系如：当x→0时，x~sinx~tanx~arcsin arctan x~In (1+x)~e*-1 。-1(1+x)°-1（其中a>0,bt0). In a b 还有(1-sx)22 例1.3.1 n321-0s是 1）1im √n2+1-n ；(华中理工大学) x(1-cos x) 2)m-en是（北京邮电大学） 3)吗nmz(背岛海洋大学) 4)设有限数a,b,A均不为零，证明：limf(）二b=A的充 x-a x-a 分必要条件是li e)-e=Ae.(华中师范大学) x-a 1)解因1im2=1,故 时物00 n2.11 原式=lim -】 √1+-1 =lim-1 1 -=1 2n ·33·
2)解原式=lim x*0 2. o sin=1 3)解原式=lim 4)证（→）左边极限存在表明：xa时，f(x)-b→0，故 e)-b-1~f(x）-b.放故 lim ex)e=e.lim efs)-8-1 r-a x-a a x-a 等价代换 e-lim）-b=Ae. x-a x-a (=)右边的极限存在表明x→a时er》→e.由对数函数的 连续性知f(x）=lnex)→lne=b.即f(x）-b→0，故有e)-6 -1~f(x)-b.从而 limf(z）-b=limg ef(:)-6 -1 lim e-ee6 x-a Fa x-a ra x-a =e-6.Ae=A. ☆注等价代换原理，来源于分数的约分.只能对乘除式里的 因子进行代换.在分子（分母）多项式里的单项不可作等价代换，否 1-cos - 12 x 则会招致错误.例如lim +o(z') -lim- x→0 x+0 一者将1-0心x换成分，则得四 52-73 222 x+0 x 一=0，这是原 则性错误！ b.利用初等变形求极限 要点用初等数学的方法将工变形，然后求极限.下例主要 将x写成紧缩形式. ☆例1.3.2求limx,设 1)工，=c0s艺c0s克cos…c0s票：（中国科学院） ·34·
2)xn= 572+4 416 22 3)x,= 1 +2+…+ 4)xn= 会+i+2 1 解1)乘以2”sin/2sin是 x =sin x 2"sin 2 x -sin 2 -→sin工（当n→∞时）(x卡0). 1 1- 2)乘以 1- 斤，再对分子反复应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2. =1+1+)-1+ 1 →2（当n→∞时）. 12 3)x,= 1 2 =2(1-n+2(当n+o时). ·35·