即xn有下界.xn有下界，故imxn存在. 注如果题目只要求证明{x.}收敛，不限定方法则还可用更 简便的方法来证（见例1.3.17）. 例1.2.12设xm=】 六2，证明四存在， 证1°利用不等式 房E+V+7=2(√质+1-兔)， > 2 得 =2yn>2Vn+1-2-2n>-2(有下界 tn= 2°-x,=1 -2√n+1+2√n √n+1 2 √n+i√n+i+ =<0,即xm+1<xn·xa单调下 降，有下界.故{x,}收敛. 注另解见例5.1.37. 五、数列与子列、函数与数列的极限关系 我们知道数列与子列有如下的极限关系： xn心A(当n∞时)台V子列{x}有x,→A(当k→∞时) 类似地，函数与数列有如下的极限关系： Iimf(x)=A台{xn}=1(xn卡a,n=1,2,…): 若x→a则有f(xn）→A(当n→∞时). 作为充分条件，都可以诚弱，请看如下例题及相关练习. ☆例1.2.l3试证：lim=a台limx2n=a,limx2m+1=a. 证只需证明充分性. 按已知条件He>0,3N,>0,当n>N时|x2m-a|<e. 又3N2>0,当n>N2时|x2m+1-a|<e.于是令 ·26·
N=max{2N1,2N2+1}, 则n>N时恒有|xn-a|<e.故limz,=a. 请读者将此结果推广到k个子列的情况， 例1.2.14设函数f(x)在点xo的邻域I(点xo可能例外) 内有定义.试证：如果对于任意的点列{x}.这里xn∈I,x,→x0 (n→∞)，0<|xn+1-xo|<|xn-xo|,都有1imf(xm）=A,那么 n- Iimf(x)=A.(武汉大学) x0 证（反证法）若f(x)·A(当x→xo时)，即3e>0,H8 >0,3x:∈1，虽然0<|x6-xo|<8,但 1f(x6)-Al≥eo: 如此，若令81=1，则3x1∈I,0<1x1-xo|<61,|f(x1)-A|≥ eo;令82=min 7,lx1-x,3x∈1,0<1za-<, 1f(x)-A≥e冷6=min{号，lx,-x, 如此无限进行下去，可得一点列{xn},x.∈I,xm→xo(n+), 0<xm+1-x0|<|xm-xo|,但 |f(xn)-A|≥eo. 与已知条件矛盾. 例1.2.15证明从任一数列{x.}中必可选出一个（不一定严 格)单调的子数列.（武汉大学，上海师范大学） 证（我们来证明：如果{x.}不存在递增子序列，则必存在严 格递减的子序列)假若{x.}中存在（不一定严格的）递增子序列 {x{入，则问题已被解决.若{xn}中无递增子序列，那么n1> 0,使得Vn>n1,恒有工。<x,.同样在{xn}>中也无递增子序 列.于是又3n2>n1,使得Hn>n2,恒有x.<x,<x,·如此无 限进行下去，我们便可找到一严格递减的子序列{x,{. .·27
数列与其子列的关系，是人们关注的问题之一，请看下面的练 习1.2.8-1.2.10 六、极限的运算性质 要点若{xn,{yn都有极限，则{xn函yn{亦有极限，且 lim(x.图yn）=limz(&limy, 其中函∈{+，-，×，÷}（除法要求分母不为零）. 注1°对指数运算亦成立.若x.>0,n=1,2,…,且limx= a,limy.=b,则limx.>。=a; 2°用数学归纳法，易知以上公式可以推广到任意有限多个数 列的情况（除法要求分母不为零，指数要求底数大于零.）： 3°函数极限有类似的结论； 4°对于无穷多个数列，结论可以不成立.如 ☆例1.2.16举例说明无穷多个无穷小量之积，可以不是无 穷小量. 答如下数列均为无穷小量： 1写号石日 1235石…日 113写石日 111写石日 11116 但将它们对应项连乘起来，取极限，得到一个新数列，此数列为 1,1,1,1,1,1,…,1,…. ·28·
该极限为1，不是无穷小量. 练 习1.2 1.2.11)已知lim.=a,求证：lim=a;(武汉大学，哈尔滨工 业大学) 2》用。8语言证明册子-1.（清华大学） 提示1)a0时，|xn-a1= Ix-al (v)2+va+(a)2 Ixn-al ≤xn-ai (五+2a+aa In n 1.2.2用e-N方法证明：1)limVn=1;2)limn3g”=0;3)lim 提示1)、2)可参照例1.2.1的1)中的证法.3)可利用 -0 血< n n 1.2.3设lima=a,试用e-N方法证明： 若.=1+2中…十，则mx,=a 1+2+…+n 提示a=0时，（用分步法）Ye>0,3N,>0,当n>N,时，1a,<气， 记M=maxa:l,则当n>N,时有 a1+2a2+…+nan 1+2+…+n <M+: n(n+1) 因MN（N1+10(当n→+o时)N>N,n>N时， n(n+1) 号即n>N时，x,<e 当a卡0时，可令bn=a.-a,则imbn=0可应用上面结果. 为00 124设启气试证1收敛 ·29·
提示可利用Cauchy收敛准则. 1.2.5{an,n=1,2,…是一个数列.试证：若 、 ,+a+…+a=a<0, 则1ima=0.(首都师范大学) n+四n 提示注意=a+a?++a-a+a?++a山.”-上.利用极 2 n-1 限的四侧运算性质可得 1.2.6设am>0(n=1,2,…)且3C>0,m<n时有am≤Cam.已知 1a,中存在子序列a{→0.试证1iman=0.(武议大学) 提示Ve>0,由a,-→0,3N,当k≥N,时，有0<a,<号.再取 N=nw1,则当n>N时，有0<an<e. 安12.？设1+方方…+元求证爱散 提示（用Cauchy准则否定形式）注意 *+受， x2,-x{=1+1 可取eo=1,则VN>0,令n>max{N,2},m=2n,则lxm-xn|≥eo 1.2.8判断题：设{a.}是一个数列，若在任一子序列{a%,{中均存在收 敛子列a,,则{a,必为收敛数列.（北京大学） 提示不对，例如，0,1,0,1，…数列. ☆1.2.9设{a}为单调递增数列，{a{C{an}为其一个子列， 若1ima,=a,试证1ima,=a.(华中师范大学) 证由单增性，可知ma:=a=spa:,故e>0,了ko,使得a-e <a。≤a.取N=o,则Vn>N时，可找到一个n>n,于是有a-e< a,≤a,≤a≤a<a+e,从而|ai-al<e. ☆1.2.10设{xn{是一个无界数列，但非无穷大量，证明：存在两个子列， 一个是无穷大量，另一个是收敛子列.（哈尔滨工业大学） ·30·