)x.=会++2会（会市*2+2） =*Z*22号（当时）. 41 二、利用已知极限 要点（以极限1im(1+x)左=e为例进行说明） 1)f(x)>0,limf(x)=6>0,limg(x)=c. 则imf(x)(x)=b. (因为limf(x))=lim()=emsh)=eb=b) 2)若1imf(x)=0,limg(x)=+o∞，limf(x)g(x)=a, 一 则lim(1+f(x))=e°. (因为im(1+f(x)=im[(1+f代z)向]ae暴》e) ☆例1.3.3求极限 1)一(5八(a≥0,6≥0).（菌安电子科技大学） 2)已知a1,a2,…,an>0(n≥2)，且 八：)-[@+ai+]求).（华东师花大学） x◆0 解1)因n→∞时， 6 故 ·36·
=1+-门座4 =e2ha+ab)=en√历=√ab 2)limf(x）=Wa1a2…an. 提示 只要注意到工-→0时1na,(i=1,2…,m),其 余与1)完全类似. 例1.3.4证明 1)若数列xn（n=1,2,…)收敛，且xn>0, 则lim√1x2…xn=lim.; 2)若x.>0(n=1,2,…)且1im乙1存在，则 m江=一.（江西师范大学） 证1)利用例1.2.1的已知极限及连续性， lim=lime( =enh马++a)=emh。=elm) =limx%… 一 2)利用刚得的结果 五=(( 经爱（向 在例1.2.11中我们看到以Euler常数命名的经典极限 im（1+壳+…+-lnn）=C存在.下面两例介绍如何用Euler ·37
常数求极限. ☆例1.35求-(++2*…+2)} 解 原式=m[(+分++动)(1+++月 lim[(In 2n+C+a2;)-(In n+C+a) (C为Euler常数，a2m,an→0，当n→∞时) lim In 2+a2-a)=In 2. 例1.3.6试借助Stirling公式 n！=√2xnn"e+,0≤0.≤1 来求极限 解 -可 e"-(1+2+…+片) =√nn！e-(+分++) (n+1) √2xnea (+e √2元 elzn-C+a (1+ →√2πe1+c)(当n+oo时) (其中C为Euler常数). ·38·
三、利用变量替换求极限 要点为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据 极限式的特点，适当引人新变量，以替换原有的变量，使原来的极 限过程，转化为新的极限过程 ☆例1.3.7若limx.=a,limy.=b,试证 im以+%1+…+业=ab.(中国科学院) 月一*火 解令xn=a+an,yn=b+Bn,则n→∞时，am,Bn→0.于是 x1yn+x2ya-1+…+xmy1 之 =（a+a1)(b+β)+(a+a2)(b+Bn-1)+…+(a+an)(b+B) =ab+a8+B,+…+且+b1+a2+…+a 个 +1β。+a2A.-1+…+aB1 n (1) 据例1.2.1，n→∞时第二、三项趋向零.现证第四项极限亦为零， 事实上，因a.→0（当n→∞时），故{an}有界，即3M>0,使得 |an|≤M(Hn∈N).故 0< a1An+a2Bn-1十…+a月 ≤MA+A-l++1B0. 从而(1)式以ab为极限 注1)本例亦可使用例1.2.1的2)中的方法证明. 2)本例的变换具有一般性，常常用这种变换，可将一般情况 归结为特殊情况.如本例原来是已知limx.=a,lim y=b,求证 m+,+x=b.变换后，归结为已知ma,=0,imR,= 1+0 n 0求证imA.+…+a8=0. ·39·
四、两边夹法则 要点当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，作适 当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新变量，易于求极限，且二者 的极限值相同.则原极限存在，且等于此公共值， ☆例13.8 求四：[]([是]表示不大于是的最大整数 解是-1<[]≤(xt0时)， 由此当x>0时， 1-x<x[是]1， 当x<0时， 1-x>z[2]≥1， 故 吗x[]=1. 例1.3.9已知a:>0(i=1,2,…,n),试计算 m[(会)户+（公a)户].（湘潭大￥） 解 记a=min{a1,a2,…,an},A=maxa1,a2,…,an}, 则(A)方+(a)≤（∑a)户+（∑a)户≤(4）归+ (na),当p→+∞时，左、右两端有相同极限A+a',故原极 限存在，等于A+a1. 在连加或连乘的极限里，可通过各项（或各因子）的放大缩小， 来获得所需的不等式 ☆例1.3.10求极限limx.,设 1),=13（2:(东北师范大学) 24……(2n)】 (+1)2 2)xm= 二√肩（国外赛题） 1 ·40·