因M,n。 +0(当→∞时)，3N>>0,使n>N时，M”心 2分 <从而 上式<号+=e 并练习 若将二改为一般的实数a,VnCN:&=0,l 2,…,n,则am,应满足什么条件，该命题仍然成立.即当lima,=a 时，有lim∑an,4a=a. 二、用Cauchy准则证明极限 要点数列{z,}收敛（只有有限极限）acy准测ye>0,N >0,当m,n>N时，有xn-c,1<e亦即Ve>0,月N>0,当 n>N时，xn+p-xn<e(p>0). Cauchy准则的优点在于不要事先知道极限的猜测值A,如 例127设x-鸟+费2+…+费”，试证z收敛 (北京航空航天大学，华中师范大学) 证因z，-z长2+++ =+++ Ye>0,(只要员<e(即n>)》:故令N=名则m>N时，有 xn+b-xm<e(Hp>0),{xn}收敛获证. ·21…
例1.2.8判断如下命题的真伪： 数列{a.}存在极限1iman=a的充分必要条件是：对任一自 然数p,都有1imam+p一a.|=0.(北京大学) 答该命题不对，例如an=√n(n=1,2,…）,虽然Hp>0, 1a。-a,=力后→0（当n→60时），但a,=√n+∞ √n+p+√n (当n→o∞时)，无有限极限（又如bn=lnn亦可说明）. 注正确的说法是：数列{a,{有有限极限的充分必要条件是 |am+b-an|0,当n→+∞时，关于p∈N一致 三、否定形式 要点xm“A(当n→∞时)，按定义指：3eo>0,VN>0, 3n1>N,使得|xw,-A|≥eo Cu准3e0>0,VN>0,3m1,m1>N,使得1x,-立，≥e0 (本即一en>0,YN>0,31>N,及p1>0,使得 工m,+91-工m,≥e0） ☆例1.2.9证明limsin n不存在.（武汉大学） 证I(用极限定义)因为-1≤sinn≤1，所以我们只要证 明：任意A∈[-1,1]，limsin n卡A即可.不妨设A∈[0,1]（对于 [-1,0]的情况，类似可证).根据极限定义，我们只要证明：3ε。> 0,HN>0,3n>N,使得Isin n-A{≥eo. 事实上，可取，=经YN>0,令 n=[(2Nx~变}+空]（这里[…]表示取整数部分）.则n>N,且 由 ·22·
2Nm-)-晋<n<(2Nπ-)+晋 sin n< 知 1aa-A1≥号 证I,据Cauchy准则，要证lim sin n不存在，即要证明： 3eo>0,VN>0,3n,m>N,使得|sinn-sin m≥eo. 取，经，VN>0,令n=[2Nx+x], m=[2Nπ+2π]([…]表示取整数部分)，则m>n>N,且 2Nx+<<2Nx+x2Nz+x<m<2N+2R lsin inm≥e,-Y号 2 这表明{sinn}发散. 证亚（反证法） 若lim sin n=A,因sin(n+2)-sinn=2sin1cos(n+1),知 lim2sin 1cos (n+1)=lim (sin (n+2)-sin n)=A-A=0, 从而lim cos n=0,A=lim sin n=lim√1-cos2n=1. 但sin2n=2sinn'cosn, 取极限得A=0,矛盾. 注1°e-N(e-6)方法的引进，是数学分析划时代的进步， 是质的飞跃，从此跨人了一个新时代.数学院系各专业的学生务必 熟练掌握.非数学院系学生不作高要求； 2°方法的精髓是：用任意小量（常量）ε>0，来刻画和鉴别无 穷小量（变量）.其中N(8)是进程“时刻”的标志（进人某一时刻之 后，|xn一A|就能比事先任意给定的ε>0（还要小.）； ·23·
3°e>0,可用(k∈N,是正整数)来替代.如x,→A(当 n→+∞时)，可等价地定义为：Hk∈N,,3N>0,当n>N时 1z.-A1<话 xmA(当n→+o时)可描述为：3k。∈N,,VN>0,3n >N,使得1x,-A≥号 函数极限的Cauchy准则，也有类似的结论； 4°如上所见，从肯定变到否定，有如下规律.即“V”与“了”对 换肯定形式为“…了…使得…”，否定形式则为“…使得 …”; 5°当存在符号“3”出现在任意符号“V”之后时，例如“x→ A(当n→+∞时)，Ve>0,3N>0…”,这里的N>0,是依赖于 e的.严格来说应写成3N(e)>0.虽然N(ε)常写成N,但心里 随时要记住它与ε息息相关； 6°当“Y”出现在论断的最后时，如Cauchy收敛准则“He> 0,3N>0,当n>N时，|xm+。-xn|<e(p>0)."这里“Vp” 最好读作“对所有的力都成立”.当“V”出现在论断之首时，一般 读作“对每一个给定的…”； 7°特别地，若能证明：Vn∈N,有xn+p-xn|≥p(n,p)→a 丰0（当p→+oo时），按Cauchy准则，可断定{xn}发散.如 例1.2.10 数列5=启(a=1,2)发散 证Yn∈N,1S。-S.1=1+ n++n+2+…+,。≥ 1 n十力 n中D一1（当p+0时），因此，只要取e,=方，则YN>0,n> N,3p>0,使得1S,-S.≥号=e0故S,1发散。 ·24·
四、利用单调有界原理证明极限存在 我们知道： {xm}收敛→{xn}有界， 但逆命题不成立. 然而有单调性条件，情况大不一样， 要点 单调有界原理： 存在且 {xn},有上界→limz sup. 存在且 或 {xn},有下界→lim z-=inf{xn} (单调不必是严格的) (对函数极限有类似结论)· ☆例1.2.11证明：数列，=1+2+…+是-nn(n=1, 2,…)单调下降有界，从而有极限（此极限称为Euler常数，下记作 c.) 证 利用已知的不等式n<n(1+K(见例11.8 式(2)有 x-2,=ah1*x)*na=n-1+日}k0, 故xn严 又因=会是-（号…受》 会是-盆+】 =会[话-(+)川+日 >>0, ·25·