(当n>1时).至此要|a<e,只要一2 4 <e,即n>+1. √n-1 故令N=+1,则n>N时有n+7i-1l=la<e. 2)（分步法) 当A为有限数时， 工+2++-A ≤|x1-A+|x2-A|+…+|x,-A 2 因limx,=A,故Ye>0,3N,>0,n>N1时，lx:-A<号. 从而 上武≤西A+,+|-A+=心，号 n n2· 注意这里x1-A|+…+|xx-A|已为定数，因而3N2>0,当 n>N2时， 1x,-A++l-A< n 21 于是令N=max{N1,N2{,则n>N时， 注1°本例第2)小题对于A=+∞或A=-∞时结论仍成 立，留作练习.当A=∞命题结论不再成立.例如数列0,1，一1,2， -2,…. 2°第2)小题表明{x.}收敛，则前n项的算术平均值必也收 敛，且极限值不变.此结论以后常用.另外，此题用Soz公式证明 会变得十分简洁（见§1.4节）. 例1.2.2证明：若p>0（k=1,2,…)且 lim- op1十p2+…+力n ，=0,liman=a. ·16·
则lim 1a,+p2a+…+p.a=a.(东北师范大学) p1十p2+…+pn 提示因{an}有界，3M>0,使得 p1an+p2am-1+…+pa L-a p1+p2+…+pn 1 ≤p,+p2+…+p.】 b（p1an-a|+p2|am-i-a|+… p-NaN+1-al+p-N+M+.+p.M). 例1.2.3设实数列{xn}满足xn-x-2→0(n→∞). 证明1im。乙二=0.（四川大学） n 提示记yn={xn-x-1,则|xn-xm-2≥|ya-yn-1. 5-兴<-+1头++1测 22 +yN 以上各例，都是数列的极限.对于函数极限，有类似的e-6 方法. ☆例1.2.4按极限定义(e-8法)证明 7 1im√16x2-9 =1.(南开大学) 7 16x2g-1 7 W16x2-9 +1 ≤6-g1=82+42-引 用分步法寻找6，并不要求一步到位，可以逐步缩小搜寻范 围.例如本题，因x→1，若要简化分子可先设|x-1|<1,即0<x <2,则 ·17…
上式右端≤16311-x 34红-引 (在U(1,1)n[子，+m）成立). 进一步设1x-11<日即1-日<x<1+日，于是 上式右端≤321-（在U(1,号）内成立). 故He>0,取6=min e 1 32,8 ,则当|x-1|<6时就有 <6 注分步法的优越性在于操作上有较大的灵活性、自主性和 多样性.由e找相应的6（ε），并不要求一步到位.各人可根据自己 的意愿，分步求得.由任给的e>0最后求得的6（ε）是否能证明 Iimf(x)=A呢？唯一的标准就看：当x-a|<6(e)时，是否恒 有|f(x)-A|<ε成立.“是”就对，“否”则错.阅卷老师应允许考 生有不同的解法，和由此得到的不同的6（ε）. 拟合法 为了证明limx,=A,关键问题在于证明|x.-A|能任意小. 为此，一般来说应尽可能将x.的表达式化简.值得注意的是，有时 x.虽然不能简化，反倒是可以把A变复杂，写成与xn相类似的形 式.（我们把这种方法称为“拟合法”）如： ☆例12.5设x→0时，x)x=分f(a 试证1imx.=a（a>0). 证 我们注意到a=】 2。，从面 x-a=2f2n-会2m2a ·18·
≤222 (1) 若我们能证明：Hε>0，n充分大时， 2）2a<2。=12,,2) 则 们武右媚≤分2 nT-e=e. 问题获证.要证明(2)式，亦即要证明 2i-1 ni-a 2i-1 (3) 事实上，因为f(x)~x（当x→0)，因此Ve>0,38>0,当 0<|x|<6时，有 |g2-<培 (4) 于是，令N-2,则n>N时， 0<2ia<8(i=1,2,…,m). n 从而按(4)式有(3)式成立. 注1°当x→0时，函数sinx,tanx,arcsin x,arctan x,e- 1,ln(1+x)都与x等价.因此用这些函数的任一个作为本例中的 f(x),结论都成立.特别f(x)=sinx时，该命题可如下证明： a 2sin- 1 2sin ·19
cos2a）=1sin2% sin n sin 0 n n a -·a→a(当n→∞). sin 这也可作为该例的一个验证 2°拟合法的思想实质，是将单位1作适当的分解.本例实质 上是利用1=会2之，从面有a=名2。分折敏学利用 这种拟合法，解决了不少重大问题.本书也时常用到此法，如例 1.3.23,例4.1.5，例4.5.28，例5.3.41等等 练习证明： 0m+22-e 2)limIⅡ osY2i-=e 之 提示取对数将连乘化为连加，然后利用上例结果（或方法）. '米例1.2.6设1iman=a,试证 (ae+Cla:+Ca+Cod.)=a. 证 (傲合法)因1生-号名c故u=宁会ca 其中ak=ak-a→0（当k→+∞时）.3M>0,|ag|≤M(k=0,1, 2,…),e>0,3k>0,当k>,时，<号， ·20·