注1°该数列是历史上著名的数列{a.}={1,1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89,…},这些数字在股市上被称为神奇数字，影响很 大.比值a。→0.618…更是优选法的重要数字，意义重大 2+j 2°解法1采用了由特解到通解的方法.此法在代数方程以及 微分方程中极为有用 3°解法2十分巧妙、简洁.着眼点在于选取恰当的α、β使得f (n+1)-af(n)成比例，公比为B. 4°本例我们将an写成f(n),只是为了记述方便，不改写也 行.关于一般的函数方程问题，将在S2.4讨论 练习1.1 1.1.1求复合函数表达式： 1)已知f(x)=x +豆设f()=f1-(x》-]I(m个求万 (x);(南京邮电大学等)》 2)设(x)=哥，试证明f1f[f(x)]=,并求f[](x0, x卡1).（华中理工大学） 提示1)可用数学归纳法证明f.（x)=二 2)f[a]=1-x. 1.1.2是否存在这样的函数，它在区间[0,1]上每点取有限值，在此区 间的任何点的任意邻域内无界.（上海师范大学） 提示 f(x)= n,(x=兴，m,n为互质整数，n>0）, 0,（x为无理数) 1.1.3试说明能有无穷多个函数，其中每个函数f,皆使f·f为R上的 恒等函数. ·11
提示Vg:(0,+∞)→(-∞，0)只要给成是一对一的，则f(x)= g(x）,x∈(0，+∞)， 0,x=0, 皆是。 g1(x),x∈(-oo,0) 1.1.4设f为R上的奇函数，f(1)=a,f(x+2)-f(x)=f(2), Vx∈R. 1)试用a表达f(2)和f(5); 《f(2)=2a,f(5)=5a》 2)a为何值时，f(x)是以2为周期的周期函数.（清华大学)《a=0时》 提示在所给等式中，以-1代入x,并注意f为奇函数. 1.1.5设f(x)=x-[x](即x的小数部分)，g(x)=tanx,说明这时 f(x)-g(x)为何不是周期函数.类似地f(x)+g(x)也如此.从而周期函数 的和与差未必是周期函数 提示设F(x)三f(x)-g(x)以T为周期，则Vx∈R,F(x+T) 记 F(x).令x=0,得F(T)=F(0)=0,即T-[T]=tanT=y,0≤y<1,此 式只有唯一解T=0. 1.1.6(双镜效应)设f是R上的实函数，f的图像以直线x=b和 直线x=c(b丰c)分别作为其对称轴，试证f必是周期函数，且周期为 216-cl. 提示对称点上函数值相等，不妨设b>c: 6+x)=fb-x)6-Sf26=z)=f八2)之 类似有f(2c-x）=f(x) f(2b-x)=f(2c-x)→f(2(b-c)+x)=f(x)(Hx∈R) ☆1.1.7.设f是R上的奇函数，并且以直线x=a(a卡0)作为对称轴，试 证∫必为周期函数并求其周期. 《4al .奇性 提示f(x）=f(2a-x)=-f(x-2a),再以x-2a代人x,并与之 联立可得f(x)=f(x-4a)(Hx∈R). *1.1.8设f(x)是R上以T为周期的周期函数(T>0),且f在[0，T] 上严格单调，试证f(x2)不可能是周期函数. 提示可用反证法· 再提示假设g(x)=f(x2)是以T,>0为周期的周期函数.则f(x+ ·12·
T:)2)=f(x2),令x=0,可知T,2=nT.进而以x=√/(n+1)T及T1=√n7 代人便发现(n+1)n应是平方数，但相邻二正整数之积不可能是平方数， ☆1.1.9证明确界的关系式： 1)叙述数集A的上确界定义，并证明：对于任意有界数列{xm|,{yn}总 有 sup x+ysupl+supy; (北京科技大学) 2)设A,B是两个由非负数组成的任意数集，试证 suspy=spry. 提示1)Hn,x+yn≤sup}+suply.},利用确界原理，sup{x.+ yIsup+suply. 再提示2)0≤x≤supx(Hx∈A);0≤y≤sgy(Hy∈B), rEA 故 0sy≤ry(Yx∈A,Yy∈B), rE A 进而有 y≤r·y (1) B 另一方面， Hx∈A由xy≤sup xy(Vy∈B), 知 x·8v≤y（x∈A), 是分 从而 xy≤· (2) 由1)，2)→欲证的等式成立 1.1.10试证：若xn→+∞（当n→+∞时），则{x,}必达到下确界（即 3m∈N,使得xm=inf{xn}).(武汉大学)》 提示对x1,3N>0,n>N,x.>x1.则 xm=min{x1,x2,…,xN},即是…. ☆1.1.11设f,g是R上的实函数，且 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),Yx,yER. 在R上f(x)不恒等于零，但有界，试证：lg(y)川≤1(Vy∈R) 提示|f(x)I有界，记M=supf(x)|.Ve>0,3x∈R,使得M≥ f(x)>M-6. ·13·
2M≥|f(x+y)川+|f(x-y)川≥|f(x+y)+f(x-y)川 =2lf(x)l|g(y)川≥2(M-e)1g(y)川. 令e→0，知|g(y)1≤1(Vy∈R). *1.1.12设f是闭区间[a,b]上的增函数（指Vx1,x2:a≤x1<x2≤ b,有f(x1)≤f(x2)(但不一定连续)，如果f(a)≥a,f(b)≤b,试证： 3xo∈[a,b],使得f(xo)=xo.(山东大学) 提示xo=suplx:f(x)≥x{, 再提示因f(a)≥a,故A三{x:f(x)≥x}非空.f只在[a,b]上有定 义，故集合A有界.因此xo=upA有意义，xo∈[a,b]. 若为=f代)>，恩ff%)=f(》≥f(o)=,A的定g。 ∈A→y≤supA=x0,矛盾. 若yo=f(xo)<xo 确界定义3工1∈A使<x≤0因， f为 →f(xo)≥ f(x1),但f(xo)=yo<x1≤f(x1),矛盾.故结论成立. *1.1:13设f(x)在[0,1]上，f(0)>0,f(1)<1.试证：3xo∈(0， 1),使f(x。)=x.(福建师范大学) 提示参考上题.另外，还可用闭区间套定理来证明.（见§1.8的练习 1.8.5) *§1.2 用定义证明极限的存在性 导读e一N,e一8方法熟练掌握是数学院系学生的基本功， 非数学院（系）学生不作过高要求。 一、用定义证明极限 B-N方法 要点要证limx.=A,按定义：Ve>0,3N>0,当n>N 时，有引xm-A|<e,就是要根据e找N.一般有三种方法： 1.(等价代换法求最小的N)Hε>0，将绝对值不等式 ·14
|xm-A|<e作等价代替（解不等式），解出 n>N(e) (N(e)是含e的一个表达式)，然后令N=N(e),则n>N时，有 x,-Al<e. 2.（放大法)有时{xm一A|<e很难解出n,只好将表达式 .|xn-A|简化、放大，使之成为n的一个新函数（记作H(n): |xn-A{≤H(n) 于是，要lx,-A|<e,只要H(n)<e即可.解不等式H(n)<e,求 得n>N(e),于是令N=N(e),则当n>N时，有|xn-A|<e. 3.（分步法)有时！xm-A|特别复杂，无法进行放大简化.只 有假定n已足够大，例如已大过某个数N1,我们发现当n>N1 时，Ixm-A|可简化、放大成H(n),即 |x.-A|≤H(n), 于是解不等式H(n)<e,求得n>N(e),则令N=max{N1, N(e)},当n>N时，有|xm-A|<e. 对函数极限limf(x)=A有类似的e-6方法. ☆例1.2.11)用e-N方法证明imWn+1=1;(山东大学) 2)设1imx,=A(有限数)，试证：lim1+2十…+乏=A. (湖北大学，中国地质大学) 证1)（放大法）Ve>0,要1Wn+1-1|<e(此式解出n有 困难)，记a=Wn+1-1(设法寻找不等式将a放大)，此式可改写 成 1+n=(1+a)八展开1t+n(”)-Da2+…+a≥n(n)。2, 展开 ·2 2 得 0<<√2a号V 2 n(n-1) ·15