西安毛子科技大学数学与统计学院School of mathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY高等数学第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
西要毛子科技大学泰勒公式XIDIANUNIVERSITS一．泰勒公式的引入在微分应用中已知近似公式f(x) = f(xo)+ f'(x)(x - x0)p(x)x 的一次多项式pl(x)= f'(x)特点： p(x)=f(x)误差： 0(x- x)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？
泰勒公式 一. 泰勒公式的引入 x 的一次多项式 f x( ) 0 0 0 + − f x f x x x ( ) ( )( ) 在微分应用中已知近似公式: 特点: 0 = f x ( ) 0 = f x( ) 需要解决的问题 如何提高精度? 如何估计误差? 0 误差: o x x ( ) −
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY问题：设f(x)在含有xo的开区间内具有n+1阶导数，试找到一个关于 x一xo的 n次多项式P(x) = ao +a(x - xo)+a2(x - xo)? +... +an(x - xo)"近似表达 f(x),要求:(1)f(x) - P,(x) = o[(x - xo)"l求出误差 1 f(x)-P,(x)I 具体表达式,(2)
泰勒公式 问题：设 f x( ) 在含有 x0 的开区间内具有 n +1 阶导数，试 找到一个关于 x x − 0 的 n 次多项式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )n P x a a x x a x x a x x n n = + − + − + + − 近似表达 f x( ), 要求： (1) 0 ( ) ( ) [( ) ], n n f x P x o x x − = − (2) 求出误差 | ( ) ( ) | f x P x − n 具体表达式
西安毛子科技大学泰勒公式IDIANUNIVERSITY求n次近似多项式 Pn(x),满足:pn(x)= f(x),p'(xo)= f(x), *"-, p(m(x)= f(n)(x)则 p,(x)= a +a(x-xo)+a,(x-x) +..+a,(x-xo)"p,(x)=a +2a,(x-xo) +..+na,(x-xo)"-ip(x) =2la, +..+n(n-1)a,(x-xo)-2n!anp("(x)=a, = p'(xo) = f'(x),ao = pn(xo) = f(x),于是az=p"(x)=f"(x),...,a, =p("(x)=二(n) (xo)2!nP,(x)= (x0) +f(x)x-x)+(x)x-) +. + (x)x-x)"故
泰勒公式 求 次近似多项式 满足: 1 2 0 2! ( ) n a p x = 0 1 ( ), 2! = f x , 1 ( ) ! 0 ( ) n n n n a p x = ( ) 0 1 ( ) ! n f x n = 故 ( ) n p x = 0 f x( ) 0 0 + − f x x x ( )( ) + ( ) 0 0 1 ( )( ) ! n n f x x x n + − 2 0 0 1 ( )( ) 2 + − f x x x ！ ( ) n 则 p x = ( ) n p x = ( ) n p x = ...... ! n n a ( ) ( ) n n p x = 0 0 ( ) n a p x = 0 = f x( ), 1 0 ( ) n a p x = 0 = f x ( ), 1 a 2 0 + − 2 ( ) a x x 1 0 ( )n n n a x x − + + − 2 2!a 2 0 ( 1) ( )n n n n a x x − + + − − 0 a 2 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( )n n + − + − + + − a x x a x x a x x 于是
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY二.泰勒(Taylor)中值定理泰勒中值定理1如果函数f(x)在x处具有n阶导数：那么存在x的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有(x)= f()+ F()x-x)+((x-x)+..2!(0)(x- x0) + R,(x),n!即 f(x)=p,(x)+R,(x),其中R,(x)=o(x-x)")
泰勒公式 二. 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理1 如果函数 f x( ) 在 x0 处具有 n 阶导数， 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + 2 ! f x f x f x f x x x x x = + − + − 0 ( ) (( ) ) n 其中 R x o x x n = − . 0 那么存在 x 的一个邻域，对于该邻域内的任一 x, 有 ( ) ( ) ( ), n n 即 f x p x R x = + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − +