沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.3 逆矩阵

练习：求下列方阵的伴随矩阵[13221221(2) A=(1)A :43334解-24(1)A*=-31(2)A11=2， A12=-3 ， A13=2 ,26-45-3-6A21=6, A2=-6 A23=-2，A'=212-2A31=-4 ， A32=5 ， A33=-2

练习： 求下列方阵的伴随矩阵 1 2 (1) 3 4 A      解   4 2 (1) * 3 1 A          1 2 3 2 2 2 1 . 3 4 3            （ ）A （2） A11=2， A12 =-3 ， A13=2 ， A21=6 ，A22= - 6 A23=2 ， A31= -4 ， A32=5 ，A33= -2， 2 6 4 3 6 5 2 2 2                 A

2、伴随矩阵的性质对于任何方阵Ax(n≥2),以下成立性质1AA*=A*A=A|E证：aa,dnan1a22aan12n2AA2anlan2a12nnnInnn00TA同理可得，A*A=AE00IA=AIE..00[A

性质1 * * ( 2), | | A n n n AA A A A E     对于任何方阵 以下成立 证： * AA  | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A A              11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A a a a A A A                         2、伴随矩阵的性质 * 同理可得，A A A E  | | A E

性质2设A为n阶方阵，「A|≠O 则「A*=(IA)n-1由性质1得到证明：AA" = A'A=|A|E→|A|A|=|A|E|=|A"|E|=|A"→[A|A|=|A→[4|=[A"-

证明： 1 * n A A    性质2 设A为n阶方阵,|A| 0  * 1 | (| |)n A A  则 |  * * AA A A A E   *   A A A E n n   A E A * n   A A A 由性质1得到