例.设f(x)在[0,1上连续,在(O,1)内可导且 f(1)=0,证明至少存在一点ξ∈(0,1),使 f'(2) 2f(5 证:问题转化为证5f()+2f(2)=0 设辅助函数(x)=x2f(x) 显然(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至 少存在一点∈(0,1),使 q(5)=2f()+f(5)=0 即有 f'()=-2f(5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 设 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 f () + 2 f () = 0. 设辅助函数 ( ) ( ) 2 x = x f x 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 = f + f = 即有 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,且 0<a<b,试证存在5,∈(a,b),使∫()= atb f'(7) 77 证:欲证f"(5)=f(),即要证/(50b-a)f() a+b 2n 77 因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有 f(b)-f(a)=f()(b-a),5∈(a,b) 又因f(x)及x2在[a,b上满足柯西定理条件,故有 f(b)-f(a fn 7∈(a,b) 2 ② b a+b 将①代入②,化简得∫(5)=f(m),5,∈(a,b) 学 HIGH EDUCATION PRESS 77 机动目录上页下页返回结束
例3. 且 试证存在 证: 欲证 , 2 ( ) ( ) f a b f = + 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 f (b) − f (a) = f ()(b − a), (a, b) ( ) [ , ] , 又因f x 及x 2 在 a b 上满足柯西定理条件 将①代入② , 化简得 故有 ① ② ( ), 2 ( ) f a b f + = ,(a,b) 即要证 . 2 ( )( ) ( ) 2 2 f b a f b a = − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设实数ao,a1,…,an满足下述等式 a+++ 0 n+ 证明方程a+a1x+…+anxn=0在(0,1)内至少有 个实根 证:令F(x)=a0+a1x+…+anx,则可设 F(x)=a0x+21x2+…+nx+1 2 n+1 显然,F(x)在[0,1上连续,在(0,1)内可导,且F(0) F(1)=0,由罗尔定理知存在一点∈(0,1)使F(5)=0, 即a+ax+…+anx”=0在O,D内至少有一个实根 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 上页下页返回结味
例4. 设实数 满足下述等式 0 2 1 1 0 = + + + + n a a a n 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 ( ) , 0 1 n n F x = a + a x ++ a x 则可设 1 2 1 0 2 1 ( ) + + = + + + n n x n a x a F x a x 且 F(0) = 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 即 0 0 1 . 0 + 1 + + = 在（ ，）内至少有一个实根 n n a a x a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(1) = 0
例5.设函数f(x)在0,3]上连续,在(0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使 f()=0.(03考研) 证:因f(x)在[0,3上连续,所以在[0,2上连续,且在 [0,2上有最大值M与最小值m,故 m≤f(0),f(1),f(2)≤M=mxJ(0)+f(1)+f(2)≤M 由介值定理,至少存在一点c∈[0,2],使 f(c)= f(O)+f(1)+f(2) f(c)=f(3)=1,且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导, 由罗尔定理知必存在ξ∈(c,3)c(0.,3),使f()=0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) =1, (0,3), 使 f () = 0. 分析: 所给条件可写为 1, (3) 1 3 (0) (1) (2) = = + + f f f f (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 m f (0), f (1), f (2) M m M f f f + + 3 (0) (1) (2) 由介值定理, 至少存在一点 c[0,2], 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = =1 f (c) = f (3) =1,且 f (x)在[c,3]上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3), 使 f () = 0