第三章 微分中值定理 与导数的应用 罗尔中值定理 推广 中值定理拉格朗日中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 应用{研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第一节 第三章 中值定理 罗尔( rolle)定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西( Cauchy)中值定理 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章
罗尔(Roe)定理 费马 fermat引理 y=f(x)在∪(x0)有定义, f(xo=0 且f(x)≤f(x0),f(x0)存在 (或≥) 证:设x+△x∈∪(x0),f(x0+△x)≤f(xo), f(o+Ax)-f(xo) 0 o 则f(x0) △x->0 f(x)≥0(△x->0-) f(xo)=o f1(x)≤0(△x→>0+) 证毕 HIGH EDUCATION PRESS
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x) f (x0 ), f x 存在 (或) ( ) 0 f x0 证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x x x f x x f x 则 ( ) 0 f x x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 ( 0 ) f (x0 ) x ( 0 ) f (x0 ) x 0 0 ( ) 0 f x0 x y o 0 x y f (x) 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
罗尔( Rolle)定理 y=f(x) y=f(x)满足 (1)在区间[a,b上连续 O 2)在区间(a,b)内可导 b (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点ξ,使∫(2)=0 证:因f(x)在[a,b上连续,故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m 若M=m,则f(x)=M,x∈[a,b 因此v∈(a,b),f()=0 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
罗尔（ Rolle ）定理 y f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 f ( ) 0. x y o a b y f (x) 证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x) M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( ) 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等, 不妨设M≠f(a),则至少存在一点∈(a2b)使 ∫()=M,则由费马引理得f(5)=0. 注意: 1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如, 0<x<1 f(x)= 0 X f(x)=x f(x=x x∈[0,1 O O HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f ( ) M , f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( ) x f x x [0,1] ( ) x f x x 1 x y 1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束