x1=y1-∑a1ayy y x,=y 令 au a 0 C 则上述变量替换相应于合同变换 A→C1AC1 为计算c1AC1,可令 于是A和C可写成分块矩阵 au A O E 这里a'为a的转置,E1为n-1级单位矩阵这样 aa e n-1人a A O E 11 0 A,-ailaalo Eno A-a,la'a 矩阵A1-aiaa是一个(n-1)x(n-1)对称矩阵,由归纳法假定,有 (n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 G(A-aua'a)o 为对角形,令 O G
= = = −= − . , , 2 2 2 1 1 1 1 11 n n n j j j x y x y x y a a y 令 − − = − − 0 0 1 0 1 0 1 1 1 12 11 1 11 1 a a a a n C , 则上述变量替换相应于合同变换 A C1 AC1 → 为计算 C1 AC1 ，可令 ( ) = = n nn n n a a a a a a A 2 22 2 12 1 1 , , , . 于是 A 和 C1 可写成分块矩阵 − = = − − 1 1 11 1 1 11 1 , O En a C A a A , 这里 为 的转置， En−1 为 n −1 级单位矩阵.这样 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − − = − − = − − − − − − − − O A a a O O E a O A a a O E a A a a E O C AC n n n 矩 阵 − −1 A1 a11 是一个 (n −1) (n −1) 对称矩阵，由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 G A − a G = D − ( ) 1 1 11 为对角形，令 = O G O C 1 2
于是 I O C CACC,= 0G人oA1- ailao G)(oD 这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是 C=CC 2.a1=0但只有一个an≠0 这时,只要把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换,就归结 成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取 00…010…0 01….000…0 00…100…0 C1=P(1,i)= 0…000…0i行 00∴0010 00∴000…1 列 显然 P(1,)’=P(1,n) 矩阵 C1 ACI=P(l,OAP(l,1) 就是把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换因此,C1AC1左上角 第一个元素就是an,这样就归结到第一种情形 3.an=0,i=1,2,…,n,但有一a1≠0,j≠1 与上一情形类似,作合同变换 P(2,n)AP(2,j) 可以把a,搬到第一行第二列的位置,这样就变成了配方法中的第二种情形与那 里的变量替换相对应,取
于是 = − = − O D a O O G O O A a a O O G O C C AC C 11 1 1 11 11 2 1 1 2 1 1 , 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是 C = C1C2 . 2. a11 = 0 但只有一个 aii 0 . 这时，只要把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换，就归结 成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取 i列 C P i = = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (1, ) 1 i 行 显然 P(1,i) = P(1,i). 矩阵 (1, ) (1, ) 1 1 C AC = P i AP i 就是把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换.因此， C1 AC1 左上角 第一个元素就是 ii a ，这样就归结到第一种情形. 3. a 0,i 1,2, ,n, ii = = 但有一 0, 1. a1 j j 与上一情形类似，作合同变换 P(2, j)AP(2, j) 可以把 j a1 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那 里的变量替换相对应，取