数值积分和数值微分
数值积分和数值微分
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation I=f(x)dx a 由微积分学基本定理当f(x)在[ab]上连续时存在原函数F(x) 由 Newton - Leibnitz公式=『x=)= 有时用上面的方法计算定积分有困难 1.不易求f(×)的原函数F(x) eg sInX1 e x nx 2x的原函数表达式很复杂(计算量大)e9J1+ dx 3f(x)用列表给出(观测所得数据表) 所以讨论数值积分即用数值方法计算定积分的近似值 HUST
b a I f(x)dx = ∫ 由微积分学基本定理,当f(x)在[a,b]上连续时,存在原函数F(x) 由Newton-Leibnits公式 b a I f(x)dx F(b) F(a) = =− ∫ 有时,用上面的方法计算定积分有困难. 1.不易求f(x)的原函数F(x) 2.f(x)的原函数表达式很复杂(计算量大) 3.f(x)用列表给出(观测所得数据表) − 2 sinx 1 x e.g. , ,e x lnx + ∫b 4 a 1 e.g. dx 1 x 所以,讨论数值积分,即用数值方法计算定积分的近似值
31机械求积 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 对于I=fx减,若(x)>0时,则对应于曲边梯形的面积 a 当f)在[ab]上连续,由积分中值定理.Y f( 彐∈[!出(xk=(b-)(9 f(b I是以ba为底高为f()的矩形的面 积f()称为[a,b]上的平均高度 梯形公式取f9 f(a+fb f(×dk≈(b-a) fa+(b b-a fa (b-a) f(b) 2 2.中矩形公式 a+b 取19=-(y)「 atb f(×)d≈(b-a)f( 2 HUST
3.1 机械求积 对于 ,若f(x)>0时,则I对应于曲边梯形的面积. b a I f(x)dx = ∫ 当f(x)在[a,b]上连续,由积分中值定理. ∃∈ =− ∫b [a,b] f(x)dx (b a)f( a ) 1. 梯形公式 + ≈ +− − ≈− = + ∫ba f(a) f(b) f( ) 2 f(a) f(b) (b a) (b a) f(x)dx (b a) 2 f(a) ) 2 2 f(b 取 2. 中矩形公式 + + ≈ ≈− ∫ba a b f( ) f( ) f(x)dx (b a a )f( ) 2 b2 取 I是以b-a为底,高为f( )的矩形的面 积. f( )称为[a,b]上的平均高度
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 3 Simpson公式 取f(≈[fa)+4f(--)+f()] atb f(xax (b-a) f(a)+4f(-)+f(b) 6 2 b-a b-a f(xax f( 4()ca+b a)+ f(-)+°f(b) 6 6 26 HUST
3. Simpson公式 1 ab f( ) [f(a) 4f( ) f(b)] 6 2+ 取 ≈+ + −− − ∴ ≈ + + ∫ba ba 4 a+b f(a) f( ) f(b) 2 (b a) b a f(x)dx 66 6 b a (b a) a b f(x)dx [f(a) 4f( ) f(b)] 6 2 − + ≈ ++ ∫
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 机械求积公式: 在[ab]中有n+1个互异的节点x0,X1,x2…,xn f(x)d≈Af(x)+Af(X)+…+Af(Xn)(3.1) 称上式为机械求积公式其中X~x1为求积节点 A(=0,1,,n)为求积系数(权) 注:1.求积系数A仅与节点X的选取有关而不依赖于被积 函数f(X)的具体形式 2通过机械求积把求积分值转化为求函数值避免了 Newton-Leibnits求原函数的困难 3.机械求积是求定积分的近似方法。 n R0()=1-,EAx)求积公式(3.1)的截断误差或余项 HUST
机械求积公式: 在[a,b]中有n+1个互异的节点x0, x1, x2,…, xn. b 00 11 nn a f(x)dx A f(x ) A f(x ) ... A f(x ) (3.1) ≈ + ++ ∫ 称上式为机械求积公式,其中x0~ xn为求积节点, Ai(i=0,1,…,n)为求积系数(权). 注:1. 求积系数Ak仅与节点xi的选取有关,而不依赖于被积 函数f(x)的具体形式. 2.通过机械求积,把求积分值转化为求函数值,避免了 Newton-Leibnits求原函数的困难. 3. 机械求积是求定积分的近似方法. = − ∑ 求积公式(3.1)的截断误差或余项. = n I A f(x ) i i i R f) 0 ( n