3)|H(j)2在=0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性 (maximally flat magnitude filter) 在=0点做 Taylor series展开 H(jo 1(0、3N+( 0、4N 归一化的 Butterworth滤波器(BwF) HLo(jo) 1+a 2N 任意的BWF和归一化BWF的关系 H(s=HL(S/O)
在w0点做 Taylor series展开 N c N c H 2 4 2 (j ) 1 ( ) ( ) w w w w w L N H j 2 2 0 1 1 ( ) w w 归一化的Butterworth滤波器(BWF) 任意的BWF和归一化BWF的关系 ( ) ( / ) L0 c H s H s w 3) |H(jw)|2在w0点1到2N1阶导数零。称为最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter)
归一化 Butterworth滤波器的极点 条件:h()是实的H(ja)=H-ja) H(SHGSEjo-H(jOHGjO)=H(jo H(SHGS 1+(-js)2 极点: SA=(-1)2Nj={e1+2-}2Nj 2k-1 e 22N k=1.2...2N 共有2N个极点,为了保证系统的稳定,选左 半平面的N个极点
归一化Butterworth滤波器的极点 2 j ( ) ( ) (jw) ( jw) (jw) H s H s s w H H H 条件：h(t)是实的 H( jw ) =H*( jw ) N s H s H s 2 1 ( j ) 1 ( ) ( ) 极点： ( 1) j {e } j 1/ 2 N jπ 2 πk 1/ 2 N k s N k N k e ; 1,2 ,2 ) 2 2 1 2 1 jπ ( 共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左 半平面的N个极点
2k-1 S=e22N,k=1.2.N为左半平面的N个极点 2(N+1-k)-1 2k+1 2 2 N 2N e N+1-k e 2k-1 e 22N (S-Sk(S-Sk)=S-2Re(sk)s+Sk =S+2sin( (2k-1) S+ 2N
s N k N k k e ; 1,2 , ) 2 2 1 2 1 jπ ( 为左半平面的N个极点 2 ) 2 2 ( 1 ) 1 2 1 jπ ( 1 e N N k N k s 2 2 ( )( ) 2Re( ) k k k k s s s s s s s s ) 1 2 (2 1) 2sin( 2 s N k s ) 2 2 1 2 1 jπ ( e N k ) 2 2 1 2 1 jπ ( e N k k s
当N为偶数时 H(s) =l S+2(sin Bs+I 0k=(2k=1)/(2N) 例:N=2,O=(2k-1)元/2N)=7/4;k=1 H() s2+√2s+1 一例:N=4,0=(2k-1)元/8=/8,3元/8;k=1,2 H(S)= (s2+2sin(/8)s+1)(s2+2sin(3/8)s+1 (s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)
•当N为偶数时 2(sin ) 1 1 ( ) 2 / 2 1 s s H s k N k (2k 1)π /(2N ) k 例：N=2, (2k 1)π /(2N ) k =/4 ; k=1 2 1 1 ( ) 2 s s H s 例：N=4, (2k 1)π /8 k / 8, 3 / 8; k1 ,2 ( 2sin(π /8) 1)( 2sin(3π /8) 1) 1 ( ) 2 2 s s s s H s ( 0.7654 1)( 1.8478 1) 1 2 2 s s s s
当N为奇数时 2(N+1)/2-1 1)/2=e 2 2M 二△Jπ (N+ H()1 (N-1)/2 ∏ (+1)As2+2(sink)s+1 0k=(2k-1)/(2N) 一例:N=1 H(S) (S+1) N=3 01=(2-1)兀/(2×3)=/6 H(S) S+1)(s-+S+
•当N为奇数时 ) 2 2 ( 1)/ 2 1 2 1 jπ ( ( 1)/ 2 e N N N s 2(sin ) 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 ( 1)/ 2 1 s s s H s k N k (2k 1)π /(2N) k 例：N=1 ( 1) 1 ( ) s H s N=3 (2 1)π /(2 3) 1 π / 6 ( 1)( 1) 1 ( ) 2 s s s H s e 1 jπ