练习:1.求极限lim( n→>∞n2+1n2+2 n2 n 解:原式=1mS1 dx nn1+(n)2101+x 4 n 2n 2n 2n 2.求极限im( ∴ n→>n+1n+ n+ 提示:lim n→>n+1 ∑2≤原式≤lm22n n- on i= 左边=1im∑27 2dx= 右边 0n+ In 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
练习: 1.求极限 ). 1 2 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n n n n + + + + + → + 解：原式 n n 1 lim → = = + n i n i 1 2 1 ( ) 1 x x d 1 1 1 0 2 + = 4 = 2. 求极限 ). 2 2 1 2 lim ( 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n + + + + + → + 提示： 原式 n n 1 lim → = n i n i 1 2 1 lim + = → n n n = n i n i 1 2 x x 2 d 1 0 = 1 1 lim n→ n + = n i n i 1 2 左边 = 右边 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.估计下列积分值 0√/4-x2+x 解:因为≤ √4√4-x2+x3-√4 x∈[0,1] d dx dx 0 4-x2+x 即 4-x2+x 6 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 估计下列积分值 解: 因为 4 1 , 4 1 2 − x ∴ dx 2 11 0 x x d 4 1 1 0 2 − 即 2 1 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.证明 dxs 2e 0 证:令f(x)=e,则f(x)=(2x-1)ex 令∫(x)=0,得x 1(0)=1,f()=,f(2)=e min f(x)= [0,2 e, max f(x)=e2 故 ≤[ex-xdx≤2e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 证明 证: 令 则 令 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设f(x)在[0,1上是单调递减的连续函数试证 明对于任何q∈[0】]都有不等式 ∫0/()dx2o/(dx 证明:显然q=0,q=1时结论成立当0<q<1时 f(x)dx-qf(x)dx -9)」/(dx-9g(odx(用积分中值定理 (1-q)q·f(51)-q·(1-q)·f(2) [0,2g 52∈[q,1 =q(1-q)f(51)-f(22)≥0 故所给不等式成立 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 设 在 上是单调递减的连续函数，试证 q0,1 都有不等式 证明：显然 q = 0,q =1 时结论成立. (用积分中值定理) ( ) 1 q f (1 ) ( ) 2 − q f 当 0 q 1 时, 故所给不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何
例6.已知f(x)在x>0处连续,f(1)=3,且由方程 x f(tdt=x, f(o)dt+y f(t)d t 确定y是x的函数,求f(x) 解:方程两端对x求导,得 f(ry).(y+xy)= f(t)dt+xf(y).y +yJ/(di+yf( 令x=1,得f(y)y=f()dt+yf() 再对y求导得∫(y)=f(1) f()=3In y+c 令y=1,得C=3,故f(x)=3lnx+3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例6. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 令 y =1, 得C = 3, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故