《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十二章 数项级数 §2 正项级数

Zsin-=s例4正项级数n-n-+.:2nn1sin-n=1,根据比较原则的极限是发散的,因为 lim1n-00n1形式以及调和级数发散，得到级数Zsin=也发nn散.后页返回前页

前页 后页 返回 例4 正项级数  = + + + + 1 1 1 sin sin1 sin sin n n 2 是发散的, 因为 1 sin lim 1, n 1 n n → = 根据比较原则的极限  1 n  1 sin n 形式以及调和级数 发散, 得到级数 也发 散

17*例5判断正项级数的敛散性。12nsinIn1sin-=1,故可将与lim进解因为41n→02nsin-nnnn行比较．由于12nsin!2(1-nsin-)=nlim-nlimlimn11n-→002nsinn-00n->00=n2n12(1-nsin-)InnI= lime2n->00前页后页返回

前页 后页 返回 *例5 判断正项级数 1 2 sin 1 n n n  的敛散性. 1 sin lim 1, n 1 n n → = 1 2 sin 1 n n n  2 1 n 解 因为 故可将 与  进 行比较. 由于 1 2 sin 2 1 2(1 sin ) 1 2 sin 2 1 lim lim lim 1 n n n n n n n n n n n n n n − → → → = = 1 2(1 sin )ln lime , n n n n − → =

注意到[1-~(+()lim1-nsin=1imn800(-n ())-0.2= lim1>82(1-nsin=)lnnn所以lime=1．根据比较原则,原级数收敛.n-→00后页返回前页

前页 后页 返回 注意到 2 1 1 1 lim 1 sin ln lim 1 ln n n n n n o n → → n n n           − = − +         2 2 1 ln lim 0, n n n o →  n n     = −  =         所以 1 2(1 sin )ln lime 1. n n n n − → = 根据比较原则, 原级数收敛

二、比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的，但在使用时只要根据级数一般项本身的特征就能作出判断定理12.7(达朗贝尔判别法,或比式判别法)设Zun为正项级数,且存在某正整数N,及常数q(0<q<1)(i)若对一切n>N,成立不等式Un+l ≤q,(5)un后页返回前页

前页 后页 返回 二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的, 但在使用时只要根据级数一般项本身的 特征就能作出判断. 定理12.7(达朗贝尔判别法, 或比式判别法)设 un 为正项级数, 且存在某正整数 0 N q q 及常数 (0 1).    0 (i) , 若对一切 成立不等式 n N 1 , (5) n n u q u + 

Zu收敛则级数(ii)若对一切 n>N,成立不等式un1 ≥1,(6)un则级数Zu,发散证(i)不妨设不等式(5)对一切 n≥1成立,于是有WnW3uz<q,9Un-1uuz后页返回前页

前页 后页 返回 则级数 un 收敛.  0 (ii) , 若对一切 成立不等式 n N 1 1, (6) n n u u +  . 则级数 发散 un 证 (i) (5) 1 不妨设不等式 对一切 成立,于是有 n  −    2 3 1 2 1 , , , , . n n u u u q q q u u u