S2 以21 为周期的函数的展开式上节讨论了以2元为周期，或定义在（一元，元上然后作2元周期延拓的函数的傅里叶展开式本节讨论更有一般性的以21为周期的函数的傅里叶展开式，以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式。一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数前页后页返回
前页 后页 返回 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2 为周期, 或定义在 上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的 傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式. ( ] −π, π 返回 一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数
一、以21为周期的函数的傅里叶级数设f是以21为周期的函数，通过变量替换：lt元x=t 或 x=-1元就可以将f变换成以2元为周期的关于变量t的函数F(0)= (允),若, 在[-1,1上可积, 则 F 在[-元, ]上也可积，这时函数F的傅里叶级数展开式是：~ "g + Z(a, cos nx + b, sin nx),(1)F(x)2n=1后页返回前页
前页 后页 返回 一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换: π , π x lt t x l = = 或 = ( ) . π lt F t f 若 f 在 [ , ] −l l 上可积, 则 F 在 [−π, π] 上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是: 0 1 ( ) ( cos sin ), (1) 2 n n n a F x a nx b nx = + + 就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 t 的函数
其中F(t)cos ntdt, n =1,2,...,an =一元元(2)1b. =F(t)sinntdt,n = 1,2,...-n1元.I.f因为 t= x,一= f(x).于是由(1)与所以F(t)=1(2)式分别得n元xn元xf(x) ~" +)?(3)bCaCOS12n=1后页返回前页
前页 后页 返回 其中 (2) π π π π 1 ( )cos d , 1,2, , π 1 ( )sin dt , 1,2, . π n n a F t nt t n b F t nt n − − = = = = = πx t l = = ( ) ( ). π lt 因为 , 所以 F t f f x 于是由(1)与 (2)式分别得 0 1 π π ( ) ( cos sin ), (3) 2 n n n a n x n x f x a b l l = + +
与n元xa,-,f(dx,(x)cosn = 0,1,2,.,.1(4)n元xb,--, (x)sindx.n = 1,2,3,...1这里(4)式是以21为周期的函数f的傅里叶系数，(3)式是的傅里叶级数若函数f在[-l,I]上按段光滑,则同样可由收敛定理知道返回前页后页
前页 后页 返回 与 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3) 式是 f 的傅里叶级数. 若函数 f 在 [ , ] −l l 上按段光滑, 则同样可由收敛定理 知道 1 π ( )cos d , 0,1,2, , 1 π ( )sin d , 1,2,3, . l n l l n l n x a f x x n l l n x b f x x n l l − − = = = = (4)
f(x+0)+ f(x-0)28n元xn元xaoZ(an(5)6sinCOS1n21n=1例1 将函数0,-5≤x<0,f(x)[3,0≤x<5展开成傅里叶级数解 由于f 在（-5,5]上按段光滑,因此可以展开成傅后页返回前页
前页 后页 返回 ( 0) ( 0) 2 f x f x + + − 例1 将函数 0, 5 0, ( ) 3, 0 5 x f x x − = 展开成傅里叶级数. 0 1 π π ( cos sin ). (5) 2 n n n a n x n x a b l l = = + + 解 由于 f 在( 5,5] , − 上按段光滑 因此可以展开成傅