S3收敛定理的证明本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明，为此先证明两个预备定理预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）若函数f在[一元，元]上可积，则.aoE(a +b))≤-""f'(x)dx.(1)2n=1其中a，b,为的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不等式.前页后页返回
前页 后页 返回 §3 收敛定理的证明 本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,为此先 证明两个预备定理. 预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 [−π, π] 上可积, 则 − = + + 2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) ( )d . (1) 2 π n n n a a b f x x 其中 a b n n , 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不等 式. 返回
证令"o + Z(a, cos x + b, sin nx)Sm(x) =2n=1考察积分[" [f(x) - Sm(x)'dx= [", F"(x)dx -2" f(x)S.(x)dx + [" S%(x)dx. (2)由于", (x)S.(x)dx=[" (x)dx2 J后页返回前页
前页 后页 返回 证 令 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx = = + + 考察积分 − − π 2 π [ ( ) ( )] d m f x S x x π π π 2 2 π π π ( )d 2 ( ) ( )d ( )d . (2) m m f x x f x S x x S x x − − − = − + π π 0 π π ( ) ( )d ( )d 2 m a f x S x x f x x − − = 由于
+(a, J" f(x)cos nxdx +b, ", f(x)sin nxdx)n=1根据傅里叶系数公式(81(10)可得2元x =a +元(a, +b,).(3)[" f(x)S.(x)dx2n=1对于S(x)的积分.应用三角函数的正交性,有[", Sm(x)dx12m-doZ(a, cos nx + b, in nx)1dx2n=1后页返回前页
前页 后页 返回 π π π π 1 ( ( )cos d ( )sin d ), m n n n a f x nx x b f x nx x − − = + + 根据傅里叶系数公式(§1(10))可得 − = = + + π 2 2 2 0 π 1 π ( ) ( )d π ( ). (3) 2 m m n n n f x S x x a a b 对于 2 ( ) S x m 的积分.应用三角函数的正交性, 有 − π 2 π S x x m ( )d − = = + + 2 π 0 π 1 ( cos sin ) d 2 m n n n a a nx b nx x
[m1CTNma,++元Z(d, +b),(4)n2n=1将(3),(4)代入(2)，可得0 ≤ [" f(x) - S.(x)'dx元a,-πZ(d, +b)C-= J" f"(x)dx2n=1l因而前页后页返回
前页 后页 返回 − − − = = + + 2 2 π π π 0 2 2 2 2 π π π 1 d cos d sin d 2 m n n n a x a nx x b nx x 2 0 2 2 1 π π ( ). (4) 2 m n n n a a b = = + + 将(3), (4)代入(2)，可得 − − π 2 π 0 [ ( ) ( )] d m f x S x x − = = − − + 2 π 2 2 2 0 π 1 π ( )d π ( ). 2 m n n n a f x x a b 因而
+(a + b)≤"1(x)dx,2元n=1它对任何正整数m成立,而[,[F(x)}dx为有限值,元所以正项级数80ao+Z(a +b)12n=1的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式(1)成立后页返回前页
前页 后页 返回 − = + + 2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) [ ( )] d , 2 π m n n n a a b f x x 它对任何正整数m成立. 而 π 2 π 1 [ ( )] d π f x x − 为有限值, 所以正项级数 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b = + + 的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立