s33一般项级数由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论。一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质三、阿贝尔判别法和秋利克雷判别法前页后页返回
前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质
一、交错级数若级数的各项符号正负相间，即(1)u, -u, +u, -u, +...+(-1)"' un, +..(un > 0, n = 1,2,...),则称为交错级数定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足：(i)数列(u,}单调递减：(ii) limu, = 0,n-00则级数(1)收敛后页返回前页
前页 后页 返回 一、交错级数 1 1 2 3 4 ( 1) (1) n u u u u un + − + − + + − + ( 0, 1,2, ), u n n = 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: (i) { } ; 数列 单调递减 un → (ii) lim 0, n = n u 则级数(1)收敛
证考察交错级数(1)的部分和数列,S,,它的奇数项和偶数项分别为S2m-1 = u, -(u, - ug) -... -(u2m-2 - u2m-1),S2m = (u, - u,) +(ug -ug) +... +(u2m-1 -u2m).由条件(i)，上述两式中各个括号内的数都是非负的从而数列(S,m-}是递减的，而数列(Sm是递增的又由条件(ii)知道0 < S2m-1 - S2m = U2m →0 (m → 00),从而([S2m S2m-1l}是一个区间套.由区间套定理,存后页返回前页
前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 2 1 1 2 3 2 2 2 1 − − − = − − − − − ( ) ( ), S u u u u u m m m 2 1 2 3 4 2 1 2 = − + − + + − − ( ) ( ) ( ). S u u u u u u m m m 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 2 1 2 { } { } . 从而数列 是递减的,而数列 是递增的 S S m m − 又由条件 知道 (ii) 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存 2 1 2 2 0 0 ( ), − = → → S S u m m m m −
在惟一的实数 S,使得lim S2m-1 = lim S2m = S.m->00m->0所以数列(S,}收敛,即级数(1)收敛推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为[R,|≤ un+1'对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法，容易检验它们都是收敛的：后页返回前页
前页 后页 返回 − → → lim lim . 2 1 2 m m = = m m S S S { } , (1) . 所以数列 Sn 收敛 即级数 收敛 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 +1 . R u n n 对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的: 在惟一的实数 S, 使得
111)n+1(2)+23n+11111n+1;(3)+;+(2n -1)!7!3!5!2413nn+1(4)10210310410"10前页后页返回
前页 后页 返回 + − + − + + − + − 1 1 1 1 1 1 ( 1) ; (3) 3! 5! 7! (2 1)! n n 1 2 3 4 1 2 3 4 ( 1) . (4) 10 10 10 10 10 n n + n − + − + + − + 1 1 1 1 1 ( 1) ; (2) 2 3 1 n n + − + + + − + +