前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性设(1)fi, f2,.., fn,...是一列定义在同一数集 E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可记为(fn)或 fn, n=1,2,...以 xE E 代入(1),可得数列(2)fi(xo), fz(x), ."", fn(xo), ....后页返回前页
前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 1 2 , , , , (1) n f f f 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 { } , 1,2, . f f n n n 或 = 以 0 x E 代入 (1), 可得数列 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . (2) n f x f x f x
如果数列(2)收敛,则称函数列(1)在点x,收敛,x,称为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数列(1)在点x.发散.当函数列(1)在数集DcE上每一点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点x都有数列(f,(x)的一个极限值与之相对应根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的极限函数.若将此极限函数记作f,则有limf,(x)= f(x), xeDno返回前页后页
前页 后页 返回 0 x 0 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, x 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 0 x 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x { ( )} n 一点 都有数列 f x 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 lim ( ) ( ) , n n f x f x x D → =
或f,(x)→f(x) (n→0),xeD函数列极限的ε一N定义：对每一固定的xED,任给正数 ε，总存在正数N(注意：一般说来N值与ε和x的值都有关，所以有时也用N(ε,x)表示三者之间的依赖关系)，使当n>N时，总有If,(x) - f(x)<8.使函数列f，收敛的全体收敛点集合，称为函数列(f,)的收敛域后页返回前页
前页 后页 返回 或 ( ) ( ) ( ) , . n f x f x n x D → → 函数列极限的 − N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 n N 时, 总有 | ( ) ( ) | . n f x f x − 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 { }n f 的收敛域
例1 设 f,(x)= x", n= 1,2,为定义在(-o0, o0) 上的函数列,证明它的收敛域是(-1,1]，且有极限函数0,1x<1,f(x) =1, x =1.证任给>0(不妨设ε<1),当0<lx<1时,由于 f,(x)- f(x)=x" I,Ing当n>N(ε,x)时,就有只要取 N(ε,x)In|xI f,(x)- f(x) HIx"<x= 8后页返回前页
前页 后页 返回 例1 ( ) , 1,2, , n n 设 为定义在(- ) f x x n = = 上的 函数列, 证明它的收敛域是 ( 1, 1] − , 且有极限函数 0, | | 1, ( ) 1, 1. x f x x = = 证 任给 不妨设 当 时 由于 0 ( 1), 0 | | 1 , x | ( ) ( ) | | |, n n f x f x x − = ln ( , ) , ( , ) ln | | N x n N x x 只要取 当 时,就有 = | ( ) ( ) | | | | | . n N n f x f x x x − = =