S3几何应用在本节中所讨论的曲线和曲面，由于它们的方程是以隐函数（组）的形式出现的，因此在求它们的切线或切平面时，都要用到隐函数（组）的微分法一、平面曲线的切线与法线二、空问曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线*四、用参数方程表示的曲面前页后页返回
前页 后页 返回 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. §3 几 何 应 用 三、曲面的切平面与法线 返回 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 *四、用参数方程表示的曲面
一、平面曲线的切线与法线曲线L：F(x,J)=0;条件:P(xo,Jo)为 L 上一点,在 Po 近旁,F满足隐函数定理条件，可确定可微的隐函数：y= y(x)(或 x =x(y));L 在Po 处的切线：y- yo =-[Fx(Po)/F,(Po)](x-xo)或 x-xo =-[F,(P)/Fx(Po) J(y-yo)) 后页返回前页
前页 后页 返回 一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： F x y ( , ) 0; = y y x x x y = = ( ) ( ( ) ); 或 − = − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x y y y F P F P x x 0 0 0 条件： P x y L ( , ) 为 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: L P 在 0 处的切线： ( ) − = − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . y x 或 x x F P F P y y
总之,当(F(P),F,(P))±(0,0)时,就有法向量: n=(Fx(Po),F,(Po))切线方程: Fx(Po)(x-xo)+ F,(Po)(y-yo)=0; (1)法线方程: F,(P)(x-xo)-Fx(Po)(y-yo)= 0.例1求笛卡儿叶形线2(x3 + y3)-9xy= 0在点 P(2,1)处的切线与法线解 设 F(x,y)=2(x3 + y3)-9xy. 由 s 1 例 2 的讨论(这里a=3/2),F在点P近旁满足隐函数定理前页后页返回
前页 后页 返回 总之, 当 0 0 ( ( ), ( )) (0, 0) , F P F P x y 时 就有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : ( ( ), ( )); : ( )( ) ( )( ) 0; (1) : ( )( ) ( )( ) 0. x y x y y x n F P F P F P x x F P y y F P x x F P y y = − + − = − − − = 法向量 切线方程 法线方程 例1 求笛卡儿叶形线 3 3 2( ) 9 0 x y x y + − = 0 在点 P (2,1) 处的切线与法线. 3 3 解 设 F x y x y x y ( , ) 2( ) 9 . = + − 由§1 例 2 的讨 论 ( 3 ), 这里 在点 a F P = 2 0 近旁满足隐函数定理
的条件.容易算出(Fx(P), F,(P)) =(15,-12),于是所求的切线与法线分别为15(x - 2)-12(y-1) = 0, 即 5x -4y - 6 = 0;12(x - 2) +15(y -1) = 0, 即 4x + 5y - 13 = 0 .例2 用数学软件画出曲线 L：x2+y-sinxy=0的图象；并求该曲线在点P（元，－元2）处的切线与法线返回前页后页
前页 后页 返回 的条件. 容易算出 0 0 ( ( ), ( )) (15, 12), F P F P x y = − 于是所求的切线与法线分别为 15( 2) 12( 1) 0, 5 4 6 0; 12( 2) 15( 1) 0, 4 5 13 0 . x y x y x y x y − − − = − − = − + − = + − = 即 即 2 例2 用数学软件画出曲线 L x y x y : sin 0 + − = 3 3 2 0 的图象；并求该曲线在点 P ( , ) − 处的 切线与法线
解在MATLAB指令窗内执行如下绘图指令：syms x,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);就立即得到曲线L的图象（见本例未页图18一6)令 F(x,y)=x2+ y-sinxy,容易求出:F,(P)=(2x- ycos xy)]p, =2 /元 - /元,F,(P)=(1 -xcos xy)lp, =1+ /元.后页返回前页
前页 后页 返回 解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令: syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]); 就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6). 令 容易求出: 2 F x y x y x y ( , ) sin , = + − 0 0 3 3 2 0 3 0 ( ) (2 cos ) 2 , ( ) (1 cos ) 1 . x P y P F P x y xy F P x xy = − = − = − = +