1的收敛性。Z-例1 考察2n-n+1解 由于当n≥2时,有111n2-n+i"n'-nn(n-1)81?因为正项级数收敛(S1例5的注),故由n(n-1)n=21E也收敛比较原则和定理12.3,级数n-n+1后页返回前页
前页 后页 返回 例1 − + 2 1 . n n 1 考察 的收敛性 解 由于当 时 有 n 2 , 2 2 1 1 1 . n n n n n n 1 ( 1) = − + − − 因为正项级数 2 1 ( 1) n n n = − 收敛 (§1例5的注), 故由 比较原则和定理12.3, 级数 2 1 n n − +1 也收敛
例2若级数u，乙v收敛,则级数un，收敛证因为lu,飞u,+，而级数u,收敛，根据比较原则,得到级数u,，收敛在实际使用上，比较原则的极限形式通常更方便Zun，Zyn是两个)设推论(比较原则的极限形式)正项级数，若u(3)lim-n =n-→ V.n则后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 , , 例2 若级数 u v u v n n n n 收敛 则级数 收敛. 2 2 | | u v u v n n n n + 2 2 , 证 因为 , 而级数 u v n n 收敛， 根据比较原则, 得到级数 u vn n 收敛. 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. , 推论 (比较原则的极限形式) 设 u v n n 是两个 正项级数,若 lim , (3) n n n u l → v = 则
(i)当0<l<+ 时,级数un，Z,同敛散(ii)当l=0 且级数乙v,收敛时,级数乙u,也收敛；(ii)当 l= +oo 且级数,发散时,级数u,也发散证(i)由(3) 对任给正数ε<l, 存在某正数N, 当n>N时,恒有Wn<8Vn或(4)(l-)vn<un<(l +)vn后页返回前页
前页 后页 返回 (i) 0 , ; n n 当 时 级数 , 同敛散 + l u v (ii) 0 , ; n n 当 且级数 收敛时 级数 也收敛 l v u = (iii) , . n n 当 且级数 发散时 级数 也发散 l v u = + 证 (i) 由(3) 对任给正数 l, 存在某正数N, 当 n > N时,恒有 − n n u l v 或 ( ) ( ) . (4) n n n l v u l v − +
Zun由比较原则及(4)式得,当0<l<+0 时,级数与乙同时收敛或同时发散.这就证得了()(ii)当l=0时，由(4)式右半部分及比较原则可得,若级数，收敛,则级数u,也收敛。(ii)若l = +oo,则对于正数1,存在相应的正数N,当n>N时,都有un>1或u,>Vn4于是由比较原则知道，若级数乙"发散，则级数Zu,也发散后页返回前页
前页 后页 返回 当 0 + l 由比较原则及(4)式得, 时, 级数 un 与 n v 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). (ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若 n v 级数 收敛, 则级数 un 也收敛. (iii) , 若l = + 则对于正数1, 存在相应的正数N,当 n > N 时, 都有 1 . n n n n u u v v 或 于是由比较原则知道, 若级数 n v 发散, 则级数 un 也发散
1Z例3 级数是收敛的，因为2"-n12"12" - n= limlim1n2"-nn->00n->002"2"以及等比级数收敛，根据比较原则的极限形21也收敛.式，级数2"-n后页返回前页
前页 后页 返回 例3 级数 − 1 2 n n 是收敛的, 因为 → → → − = = = − − 1 2 1 2 lim lim lim 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n n n n 以及等比级数 1 2 n 收敛, 根据比较原则的极限形 1 2 n − n 式, 级数 也收敛