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前页 后页 返回 §2 复合函数微分法 二、复合函数的全微分 返回 一、复合函数的求导法则
一、复合函数的求导法则定义 设函数x=(s,t) 与 y=y(s,t) 定义在st平面的区域D上,函数z=f(x,y)定义在xy平面的区域D上.若( (x,y) / x=p(s,t), y=y(s,t),(s,t)eD) cD则后页返回前页
前页 后页 返回 一、复合函数的求导法则 定义 设函数 x s t y s t = = ( , ) ( , ) 与 定义 _ ( , ) ( , ) , ( , ), ( , ) , x y x s t y s t s t D D = = _ xy平面的区域 D 上. 若 则 在 st 平面的区域 D 上, 函数 z f x y = ( , ) 定义在
称z = F(s,t)= f( p(s,t),y(s,t)), (s,t)e D为由z=f(x,y), x=(s,t) 与 y=y(s,t) 构成的复合函数其中 x=p(s,t) 与 y=(s,t)为内函数,z=f(x,y),为外函数(x,J）为中间变量,(s,t)为自变量返回前页后页
前页 后页 返回 的复合函数. 为由 z f x y = ( , ), x s t y s t = = ( , ) ( , ) 与 构成 称 z F s t f s t s t s t D = = ( , ) ( ( , ), ( , ) ) , ( , ) . ( x, y ) 为中间变量,( s, t )为自变量. 其中 为内函数, x s t y s t = = ( , ) ( , ) 与 = 为外函数, z f x y ( , )
定理17.5 若x=Φ(s,t),y=(s,t)在点(s,t)eD 可微,z=f(x,y)在点(x,y)=(p(s,t),y(s,t) 可微,则复合函数z=f(@(s,t),y(s,t))在点(s,t)可微，且关于s与t的偏导数分别为azOz0xOzdysas((s,t)A(4)azOzaxOzayott (s,t) Ox (x,y) at (st)Oy (x,y) at (s,t)后页返回前页
前页 后页 返回 定理17.5 若 x s t y s t = = ( , ), ( , ) 在点 ( , ) s t D 可 微， z f x y = ( , ) 在点 ( , ) ( ( , ), ( , )) x y s t s t = 可微, 则 关于 s 与 t 的偏导数分别为 复合函数 z f s t s t = ( ( , ), ( , ) ) 在点 ( , ) s t 可微，且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , . s t x y s t x y s t s t x y s t x y s t z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t = + = + (4)
证 由假设x=p(s,t),y=y(s,t)在点 (s,t)可微,于axax是 Ax=(5)At + α,As + β,At,△s+atasayay(6)At+ α,As+ β,At,Ay=ASasat其中(△s,△t)→(0,0) 时(α,β,α2,β,)→(0,0,0,0)又由 z=f(x,y)在点(x,y)可微，故有Ozaz(7)Az△x+△y+αAx+βAy,二ayax前页后页返回
前页 后页 返回 是 2 2 , y y y s t s t s t = + + + (6) 证 由假设 x s t y s t = = ( , ), ( , ) 在点 ( , ) s t 可微, 于 1 1 , x x x s t s t s t = + + + (5) ( , ) (0,0) → s t 1 1 2 2 其中 时 ( , , , ) (0,0,0,0) . → 又由 z f x y = ( , ) 在点 ( , ) x y 可微, 故有 , z z z x y x y x y = + + + (7)