S3欧拉积分在本节中我们将讨论由含参量反常积分定义的两个很重要的非初等函数I函数和B函数一、『函数二、B函数三、I函数与B函数之问的关系前页后页返回
前页 后页 返回 §3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 —— 一、 函数 二、 B 函数 返回 函数和 函数. 三、 函数与 B 函数之间的关系
一、F函数含参量积分：(1)I(s)= Jxs-le**dx, s >0,称为格马函数I函数可以写成如下两个积分之和：I(s) = J, xs-le-*dx + Jfx-le**dx = I(s)+ J(s),其中I(s)当s≥1时是正常积分,当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);后页返回前页
前页 后页 返回 一． 函 数 含参量积分： + − − = 1 0 ( ) e d , 0 , (1) s x s x x s 称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： + − − − − = + = + 1 1 1 0 1 ( ) e d e d ( ) ( ) , s x s x s x x x x I s J s 其中 I s s ( ) 1 当 时是正常积分,当 0 1 s 时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
J(s)当s≥0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西判别法推得).所以含参量积分(1)在s>0时收敛即I函数的定义域为s>0.1. I(s)在定义域s>0 内连续且有任意阶导数在任何闭区间[a,b](a>O)上，对于函数I(s)，当0<x≤1时有 x"-le-*≤x"-le-*,由于,x-le-*dx 收敛,从而I(s)在[a,b]上也一致收敛,对于J(s)，当后页返回前页
前页 后页 返回 J s s ( ) 0 当 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s 0 时收敛, 即 函数的定义域为 . s 0. 1. ( )s 在定义域 s 0 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 [ , ]( 0) a b a 上, 对于函数 I s( ) , 当 0 1 x 1 1 e e , s x a x x x − − − − 1 1 0 e d a x x x − − 时有 由于 收 敛, 从而 I s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 对于 J s( ) , 当
1≤x<+oo 时, 有xs-le-*≤xb-le-*, 由于[~xb-le-*dx收敛,从而J(s)在[a,b]上也一致收敛,于是r(s)在s>0 上连续用上述相同的方法考察积分+8Sdx= Jt"xs'e** Inxdx .+eJo asJO它在任何区间[a,b](a>0)上一致收敛.于是由定理19.10得到I(s)在[a,b]上可导,由a, b的任意性,I(s)返回前页后页
前页 后页 返回 s 0 上连续. 用上述相同的方法考察积分 ( ) + + − − − − = 1 1 0 0 e d e ln d . s x s x x x x x x s 它在任何区间 [ , ]( 0) a b a 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 ( )s 在 [ , ] a b 上可导, 由a, b的任意性, ( )s 1 + x 1 1 e e , s x b x x x − − − − 1 1 e d b x x x + − − 时 , 有 由于 收敛,从而 J s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 于是 ( )s 在
在s>0上可导，且I'(s)= f."xs-'e-* Inxdx, s >0.同理可证I("(s)= f,x-e**(Inx)"dx , s >0, n = 2,3,...2.递推公式(s+1)= sr(s)对下述积分应用分部积分法，有x'e-*dx = -xe-x+s/xs-xdx1A+s["xs-lexdxE-Ae1前页后页返回
前页 后页 返回 1 0 ( ) e ln d , 0 . s x s x x x s + − − = 同理可证 ( ) 1 0 ( ) e (ln ) d , 0, 2,3, . n s x n s x x x s n + − − = = 2. 递推公式 ( 1) ( ) s s s + = 对下述积分应用分部积分法, 有 1 0 0 0 e d e e d A A A s x s x s x x x x s x x − − − − = − + − − − = − + 1 0 e e d . A s A s x A s x x 在 s 0 上可导, 且