S2 一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要前页后页返回
前页 后页 返回 §2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要. 返回
定理13.8（极限交换定理）设函数列{f,}在(a,x)U(xo,b)上一致收敛于f(x),且对每个n,lim f,(x)=an,则 lima,和lim f(x)均存在且相等.即x-→Xon->00x→Xo(1)lim lim f,(x) = lim lim f,(x).x→xo n->00n-00 x-→xo证先证{a,}是收敛数列.对任意ε>0，由于(f,}一致收敛，故存在正整数N,当 n>N及任意正整数p对一切 x E(a,x)U(xo,b) 有I f,(x)- fn+p(x)k8.后页返回前页
前页 后页 返回 定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 { }n f 在 0 0 ( , ) ( , ) a x x b 上一致收敛于 f x( ) , 且对每个 n, 0 lim ( ) , n n x x f x a → = lim n n 则 和a → 0 lim ( ) . x x f x → 均存在且相等 即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ). (1) n n x x n n x x f x f x → → → → = { }n a 0 { }n 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 f 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 0 0 x a x x b ( , ) ( , ) 有 | ( ) ( ) | . n n p f x f x − +
从而Ian -an+p I= lim I f,(x) - fn+p(x)<8.x→Xo于是由柯西准则可知(a,}是收敛数列,设 lima,=A,n>即 lim lim f,(x) = A,n→0 x→xg下面证明 lim f(x)= lim lim f,(x)= A.x-→xo n→0x-→xo注意到If(x)-A f(x)- fn+i(x)/+Ifn+i(x) -an+1 /+|an+1-A|后页返回前页
前页 后页 返回 从而 0 | | lim | ( ) ( ) | . n n p n n p x x a a f x f x + + → − = − { }n a → lim , n = n 于是由柯西准则可知 是收敛数列, 设 a A 即 0 lim lim ( ) , n n x x f x A → → = 下面证明 0 0 lim ( ) lim lim ( ) . n x x x x n f x f x A → → → = = 注意到 | ( ) | f x A− 1 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N − + − + − f x f x f x a a A + + + +
只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定的任意正数即可由于f,(x)一致收敛于f(x)，a,收敛于A,因此对任意>0,存在正数N,当n>N时,对任意x(a,x)U(xo,b), 有C1.f,(x)-f(x)k和 la,-A<133同时成立.特别当 n= N+1时,有返回前页后页
前页 后页 返回 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 由于 f x n ( ) 一致收敛于 f x( ) ， an 收敛于 A , 因此对任 | ( ) ( ) | | | 3 3 n n f x f x a A − − 和 同时成立. 特别当 n N = + 1 时, 有 ( , ) x b 0 , 有 意 0 , 存在正数 , 当 n N 时, 对任意 0 N x a x ( , )
1-Ak2I fn+(x)- f(x)<=和|an+33又因为lim fn+(x)=an+1，故存在S>0，当x-→xo0<x-x时,也有O1 ma(0)-amkg这样,当x满足0<-x<时,I f(x) -A[ f(x)- fn+i(x)/+I fn+i(x)-an+1 I888+Ian+1-A<= 8,333后页返回前页
前页 后页 返回 | ( ) ( ) | | | + + 1 1 − − 3 3 N N f x f x a A 和 + + → = 0 1 1 lim ( ) , N N x x 又因为 f x a 故存在 0 , 当 0 0 | | − x x 时,也有 1 1 | ( ) | . 3 N N f x a + + − 0 这样 当 满足 时 , 0 , x x x − − − + − + + + 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | N N N f x A f x f x f x a + − + + = +1 | | , 333 N a A