《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十七章 多元函数微分学 §4 泰勒公式与极值问题

S4 泰勒公式与极值问题就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外，又为建立极值判别准则作好了准备一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题前页后页返回

前页 后页 返回 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备. 三、极值问题 返回 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式

一、高阶偏导数由于z=f(x,J)的偏导数 f,(x,y), ,(x,J) 一般仍然是x,的函数，如果它们关于x与y的偏导数也存在，说明f具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏导数有如下四种形式：一禁一品（8）fxx(x,y) =一品（%)fx,(x,y)=后页返回前页

前页 后页 返回 一、高阶偏导数 ( , ) ( , ), ( , ) x y 由于 的偏导数 一般仍 z f x y f x y f x y = 然是 的函数 x y, , 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导数有如下四种形式: 2 2 ( , ) , x x z z f x y x x x      = =       2 ( , ) , x y z z f x y x y y x      = =        存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏

az(zfyx(x,y)Oyoxoxoy8品（%)fy(x,y) =类似地可以定义更高阶的偏导数，例如z=f(x,J)的三阶偏导数共有八种情形：a(ozazx(oro-1g(x,y),后页返回前页

前页 后页 返回 2 ( , ) , y x z z f x y y x x y      = =        2 2 ( , ) . y y z z f x y y y y      = =       类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f x y = ( , ) 的三阶偏导数共有八种情形: 3 3 2 3 ( , ), x z z f x y x x x        = =     

品（1（0fxyx(x,y), fxp(x,y), f,s(x,y),Jpr(x,y), yxy(x,y), fyx(x,y).a'z例1求函数z=e+2y的所有二阶偏导数和Oyox?解由于Ozazet+2y2ex+2y0xoy后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 ( , ), x y z z f x y y x x y        = =       x yx ( , ), ( , ), ( , ), 2 3 x y y f x y f x y f x y 2 2 ( , ), ( , ), ( , ). yx y y x yx f x y f x y f x y 解 由于 2 2 e , 2e , z z x y x y x y   + + = =   例1 3 2 2 e . x y z z y x +  =   求函数 的所有二阶偏导数和

因此有a'zae++2y)=e++2y;(eax?axa'z(et+2y))= 2er+2yayOxoya'za(2e++2)) = 2e++2y;xOyox8'za(2e++2y) =4e++2y;二ayay返回前页后页

前页 后页 返回 因此有 2 2 2 2 (e ) e ; z x y x y x x   + + = =   2 2 2 (e ) 2e ; z x y x y x y y   + + = =    2 2 2 (2e ) 2e ; z x y x y y x x   + + = =    2 2 2 2 (2e ) 4e ; z x y x y y y   + + = =  