S4条件极值条件极值问题的特点是：极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制。解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日來数法1条件极值问题的实际应用非常广泛，而且还能用来证明或建立不等式一、问题引入二、拉格朗日乘数法三、应用举例前页后页返回
前页 后页 返回 §4 条 件 极 值 条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 三、应用举例 返回 一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还 能用来证明或建立不等式
一、问题引入很多极值问题，自标函数的自变量不能在其定义域上自由变化，而是要受到某些条件的约束例1 要设计一个容积为V的长方形无盖水箱，试问长、宽、高各等于多少时，可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x，J，z，则目标函数：S=2z(x+y)+xy约束条件：xyz=V.后页返回前页
前页 后页 返回 一、问 题 引 入 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束. 例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试 问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则 目标函数: S z x y x y = + + 2 ( ) ; 约束条件: x yz V=
例2 设曲线 z=x2+y2,x+y+z=1.求此曲线上的点到原点距离之最大、最小值．对此问题有目标函数：u=x2+y2+z2;约束条件：z=x2+y2, x++z=1.还可举出很多这种带有约束条件的极值问题定义设目标函数为= f(Xi,X2,,xn), (Xj,X2, ".,xn)e DcR";约束条件为如下一组方程后页返回前页
前页 后页 返回 例2 设曲线 z x y x y z = + + + = 2 2, 1. 求此曲线上 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) R ; n n n y f x x x x x x D = 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 2 2 2 目标函数: u x y z = + + ; 2 2 约束条件: z x y x y z = + + + = , 1. 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题. 定义 设目标函数为 约束条件为如下一组方程:
D : Pk(xi, X2, , xn)= 0, k = 1,2, .", m (m<n)为简便起见，记 P=(xi,X2,,xn),并设Q =(PI PeD, Pk(P)= 0, k =1, 2, .",m).若存在 P。E Q,S>0,使得f(Po)≤ f(P),V PEQnU(Po;)(或 VPe2),则称f(Po)是f(P)在约束条件Φ之下的极小值(或最小值)，称P是相应的极小值点(或最小值点）.类似地文可定义条件极大（或最大)值后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 : ( , , , ) 0, 1, 2, , ( ). k n x x x k m m n = = 为简便起见, 记 P x x x = ( , , , ), 1 2 n 并设 { | , ( ) 0, 1, 2, , }. = = = P P D P k m k 0 0 f P f P P U P P ( ) ( ) , ( ; ) ( ), 或 0 若存在 P , 0, 使得 0 则称 f P( ) 是 f P( ) 在约束条件 之下的极小值 P0 (或最小值) , 称 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值
二、拉格朗日乘数法(A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n= 2,m=1 的最简情形说起，即设目标函数与约束条件分别为(1)z = f(x,y) 与 β(x,y) = 0.若由 β(x,y)=0确定了隐函数y=y(x),则使得目标函数成为一元函数z=f(x,y(x)).再由dzK-/+米-1-1-0dx求出稳定点 Po(xo,yo)=(xo,y(xo),在此点处满足后页返回前页
前页 后页 返回 二、拉格朗日乘数法 (A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简 情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为 z f x y x y = = ( , ) ( , ) 0. (1) 与 d d 0, d d x x y x y y z y f f f f x x = + = − = 若由 ( , ) 0 x y = 确定了隐函数 y y x = ( ), 则使得目 标函数成为一元函数 z f x y x = ( , ( )). 再由 0 0 0 0 0 求出稳定点 P x y x y x ( , ) ( , ( )), = 在此点处满足