S2隐函数组隐函数组的存在性、连续性与可微性是函数方程组求解问题的理论基础.利用隐函数组的一般思想，又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题一、隐函数组概念二、隐函数组定理三、反函数组与坐标变换前页后页返回
前页 后页 返回 隐函数组的存在性、连续性与可微性是 函数方程组求解问题的理论基础. 利用隐 函数组的一般思想, 又可进而讨论反函数 组与坐标变换等特殊问题. 返回 §2 隐 函 数 组 三、反函数组与坐标变换 一、隐函数组概念 二、隐函数组定理
一、隐函数组概念设有一组方程F(x, y,u,v) = 0,(1)G(x,y,u,v)= 0,其中 F与 G 定义在 VcR.若存在 D,EcR,使得对于任给的(x,J)E D, 有惟一的(u,v)EE与之对应,能使 (x,y,u,v)eV,且满足方程组(1)则称由(1)确定了隐函数组后页返回前页
前页 后页 返回 一、隐函数组概念 设有一组方程 ( , , , ) 0, (1) ( , , , ) 0, F x y u v G x y u v = = 则称由 (1) 确定了隐函数组 之对应, 能使 ( , , , ) , (1), x y u v V 且满足方程组 其中 定义在 若存在 2 D E, R , 4 F G 与 V R . 使得对于任给的 ( , ) , x y D 有惟一的 ( ) u, v E 与
u = u(x, y),(x,y)eD, (u,v)EE,V=v(x,y),并有F(x,y,u(x,y),v(x,y)) = 0,(x,y)eD.G(x,y,u(x,y),v(x,y)) = 0,关于隐函数组的一般情形（含有m+n个变量的m个方程所确定的n个隐函数)，在本章不作详细讨论.后页返回前页
前页 后页 返回 ( , ), ( , ) , ( , ) , ( , ), u u x y x y D u v E v v x y = = 并有 ( , , ( , ), ( , )) 0, ( , ) . ( , , ( , ), ( , )) 0, F x y u x y v x y x y D G x y u x y v x y 关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详 细讨论．
首先来看看，若由方程组（1)能确定两个可微的隐函数u=u(x,y)与v=v(x,y),则函数 F、G应满足何种条件呢？不妨先设F、G都可微，由复合求导法，通过对(1)分别求关于x与关于y的偏导数，得到Fx + Fuux + F,vx = 0,(2)[Gx +Guux +G,Vx = 0;F, + Fuu, + F,y, = 0,(3)G, +Guu, +G,v, = 0.后页返回前页
前页 后页 返回 首先来看看, 若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐 函数 u u x y v v x y = = ( , ) ( , ) 与 , 则函数 F、G 应满 足何种条件呢? 不妨先设 F、G 都可微, 由复合求导法, 通过对 (1) 分别求关于 x 与关于 y 的偏导数, 得到 0 , (2) 0; x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v + + = + + = 0 , (3) 0 . y u y v y y u y v y F F u F v G G u G v + + = + + =
能由(2)与(3) 惟一解出(ux,Vx)与(uy,",)的充要条件是雅可比（Jacobi）行列式不等于零，即Fu F,a(F,G) def(4)+0.a(u,v)|GuG,由此可见，只要F、G具有连续的一阶偏导数，且Jp。0，其中 Po(xo,yo,uo,vo)是满足(1)的某一初始点，则由保号性定理，3U(P)，使得在此邻域内(4)式成立.根据以上分析，便有下述隐函数组定理后页返回前页
前页 后页 返回 能由 (2) 与 (3) 惟一解出 (ux ,vx ) 与 (uy ,vy ) 的充要 条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即 def 0 . (4 , ) ( ) ( , ) u v u v F G F F J u v G G = == 由此可见，只要 F、G 具有连续的一阶偏导数，且 J P0 0 , 其中 P x y u v 0 0 0 0 0 ( , , , ) 是满足 (1) 的某一 初始点, 则由保号性定理， U(P0 ), 使得在此邻域 内 (4)式成立． 根据以上分析, 便有下述隐函数组定理