7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角 多边形内角和定理n边形的内角的和等于:(n-2)×180°,则正多边形各内角度数为: (n-2)×180°-n 多边形内角和定理证明 证法一:在n边形内任取一点0,连结0与各个顶点,把n边形分成n 个三角形. 因为这n个三角形的内角的和等于n·180°,以0为公共顶点的n个角 的和是360° 所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)·180 即n边形的内角和等于(n-2)×180° 证法二:连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段,把n边形 分成(n-2)个三角形 因为这(n-2)个三角形的内角和都等于(n-2)·180° 所以n边形的内角和是(n-2)×180 证法三:在n边形的任意一边上任取一点P,连结P点与其它各顶点的 线段可以把n边形分成(n-1)个三角形, 这(n-1)个三角形的内角和等于(n-1)·180° 以P为公共顶点的(n-1)个角的和是180° 所以n边形的内角和是(n-1)·180°-180°=(n-2)·180 已知正多边形内角度数则其边数为:360÷(180—内角度数) 8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 外角和=N*180-(N-2)*180=360度 注:在不考虑角度方向的情况下,以上所述的N边形,仅为任意凸’多边形。 当考虑角度方向的时候,上面的论述也适合凹多边形。 9多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 10正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形 11.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平 面 镶嵌的一个关键点是:在每个公共顶点处,各角的和是360° 1.全等的任意三角形能镶嵌平面 把一些纸整齐地叠放好,用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形.用这些全等的 三角形可镶嵌平面.这是因为三角形的内角和是180°,用6个全等的三角形即可镶嵌 出一个平面.如图1.用全等的三角形镶嵌平面,镶嵌的方法不止一种,如图2 的 图2 2.全等的任意四边形能镶嵌平面
10 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和定理:n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°，则正多边形各内角度数为： （n － 2）×180°÷n 多边形内角和定理证明 证法一：在 n 边形内任取一点 O，连结 O 与各个顶点，把 n 边形分成 n 个三角形. 因为这 n 个三角形的内角的和等于 n·180°，以 O 为公共顶点的 n 个角 的和是 360° 所以 n 边形的内角和是 n·180°-2×180°=（n-2）·180°. 即 n 边形的内角和等于（n-2）×180°. 证法二：连结多边形的任一顶点 A1 与其他各个顶点的线段，把 n 边形 分成（n-2）个三角形. 因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180° 所以 n 边形的内角和是（n-2）×180°. 证法三：在 n 边形的任意一边上任取一点 P，连结 P 点与其它各顶点的 线段可以把 n 边形分成（n-1）个三角形， 这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180° 以 P 为公共顶点的（n-1）个角的和是 180° 所以 n 边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°. 已知正多边形内角度数则其边数为：360÷（180－内角度数） 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 外角和=N*180-（N-2）*180=360 度。 注：在不考虑角度方向的情况下，以上所述的 N 边形，仅为任意‘凸’多边形。 当考虑角度方向的时候，上面的论述也适合凹多边形。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平 面。 镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是 360°． 1．全等的任意三角形能镶嵌平面 把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的 三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是 180°，用 6 个全等的三角形即可镶嵌 出一个平面．如图 1．用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图 2． 2．全等的任意四边形能镶嵌平面
仿上面的方法可剪出多个全等的四边形,用它们可镶嵌平面.这是因为四边形的 内角和是360°,用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.如图3.其实四边形的平面 镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌.如图4 3.全等的特殊五边形可镶嵌平面 圣地亚歌一位家庭妇女,五个孩子的母亲玛乔里赖斯,对平面镶嵌有很深的研究 尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论.1968年克什纳断言只有8类五边形 能镶嵌平面,可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面,在图5的五边形 ABCDE中,∠B=∠E=90°,2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°,a=e,a+e=d.图6是她于 1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法.用五边形镶嵌平面,是否只有13类, 还有待研究 sap 图5 图7 4.全等的特殊六边形可镶嵌平面 l918年,莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面.图7是其中之一.在图7 的六边形 ABCDEF中,∠A+∠B+∠C=360°,a=d. 5.七边形或多于七边的凸多边形,不能镶嵌平面 只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面,用其它正多边形不能镶嵌平面 例如:用正三角形和正六形的组合进行镶嵌.设在一个顶点周围有m个正三角形 的角,有n个正六边形的角.由于正三角形的每个角是60°,正六边形的每个角是120°.所 以有 m60°+n120°=360°,即m+2n=6 这个方程的正整数解 4.「m=2, 1 可见用正三角形和正六边形镶嵌,有两种类型,一种是在一个顶点的周围有4个正三 角形和1个正六边形,另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形 埃舍尔百度百科 12公式与性质 三角形的内角和:三角形的内角和为180 三角形外角的性质 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n2)·180° 多边形的外角和:多边形的内角和为360°。 11
11 仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的 内角和是 360°，用 4 个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图 3．其实四边形的平面 镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图 4． 3．全等的特殊五边形可镶嵌平面 圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究， 尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968 年克什纳断言只有 8 类五边形 能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了 5 类五边形能镶嵌平面，在图 5 的五边形 ABCDE 中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图 6 是她于 1977 年 12 月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有 13 类， 还有待研究． 4．全等的特殊六边形可镶嵌平面 1918 年，莱因哈特证明了只有 3 类六边形能镶嵌平面．图 7 是其中之一．在图 7 的六边形 ABCDEF 中，∠A＋∠B＋∠C=360°，a=d． 5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面． 只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面． 例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有 m 个正三角形 的角，有 n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所 以有 m·60°＋n·120°=360°，即 m＋2n=6． 这个方程的正整数解 或 可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有 4 个正三 角形和 1 个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有 2 个正三角形和 2 个正六边形． 埃舍尔_百度百科 12.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为 180° 三角形外角的性质： 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为 360°