3.2.1 为使LU分解标准化。把U改换成DU 是可行的。其中D是非奇异对角矩阵。而 U则为单位上三角矩阵。如 200111 040=040010 00-200-200 称A=LDU为矩阵A的LDU分解。 定理:设 A=是一个nxn阶价矩阵 12 lk kk k=1.2 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 26 3.2.1 为使 LU 分解标准化。把 U 改换成 DU 是可行的。其中 D 是非奇异对角矩阵。而 U 则为单位上三角矩阵。如 0 0 1 0 1 0 2 1 1 1 0 0 2 0 4 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 2 2 1 称 A=LDU 为矩阵 A 的 LDU 分解。 定理：设 k n a a a a a a A A a n n k k kk k k ij 1,2, , 1 2 11 12 1 是一个 阶矩阵
3.2.1 表示A的各阶主子矩阵。那么,A存在 唯一的LDU分解的充分必要条件是: Ak(k=1,2,,n)都是非奇异。 如A为对称正定,或者对角占优,则 A的各阶主子矩阵均非奇异。 现在我们直接从A求LU分解: 设矩阵A有LDU分解。记LD=L。则 A气U,L为下三角矩阵,U为单位上三角 这种LU分解称为 Crout分解 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 27 3.2.1 表示 A 的各阶主子矩阵。那么，A 存在 唯一的 LDU 分解的充分必要条件是： Ak（k=1,2,….,n）都是非奇异。 如 A 为对称正定，或者对角占优，则 A 的各阶主子矩阵均非奇异。 现在我们直接从 A 求 LU 分解： 设矩阵 A 有 LDU 分解。记 LD=L。则 A=LU，L为下三角矩阵，U为单位上三角。 这种LU分解称为 Crout 分解
3.2.1 22 i2 0 2 0 001 nl2… A=LU 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 28 3.2.1 A LU u u u u u u l l l l l l l l l l a a a a a a a a a a a a a a a a jn j n j n n n nj nn i i ij n n nj nn i i ij in j n j n 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 12 1 1 1 2 1 2 21 22 11 1 2 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1
3.2.1 令:L=U= 显然, j=1,2…,n) 因为,A=LU min(l,J 所以 ∑1n(, (3-19 特别,j=1时, 11 (=1,2…,n) 3-20 故 2 (3-21) 假定L的前k-1列和n的前k-1行已得到。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 29 3.2.1 假定 的前 列和 的前 行已得到。 故 时， 特别， 时， 所以， 因为， 显然， 令： 1 1 2, , (3 21) 1 1,2, , 3 20 1 , 1,2, , 3 19 1 , 1,2, , , 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 min ,1 L k u k j n l a u a l u i a l u l i n j a l u i j n A LU u i j n L l U u j j j j i i i i j r ij ir rj ii ij ij
3.2.1 由于4=1,所以根据3-19)有 ik rk 故 3-22 类似地,有, ly=a4-∑2n|/ G=k+1…,n)(3-23) 关于L,U元素的存放 从(3-22),(3-23)可以看出。A的元 素a在计算出ln或ln以后就不再有用了。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 30 3.2.1 1, , 3 23 , , 3 22 , , 1, 3 19 1 1 1 1 1 1 j k n u a l u l l a l u i k n a l l u i k n u kk k r kj kj kr rj k r ik ik ir rk k r ik ik ir rk kk 类似地，有， 故 由于 所以根据 有 关于L, U元素的存放 从（3-22），（3-23）可以看出。A的元 素aij在计算出 l ij或 uij 以后就不再有用了