目录 前言………………………………………1 第一章度量空间 番··。看·自··看。垂·● (3) §1.1度量空间………………………………………(4) §1.2三个重要不等式及较复杂的例题………(11) §1.3开集、闭集、邻域………………………(19) §1.4收敛、柯西 auchy)序列、完备性…………(27) §1.5例题(完备性的证明)……………………(33) §1.6度量空间的完备化…………(42) 第二章赋范空间、巴拿赫( Banach)空间…………(50) §2.1向量空间………………………(51) §2.2赋范空间、 Banach空间………………………(58 §2.3赋范空间的另一些性质………(65) §2.4有穷维赋范空间及其子空间…………………(72) §2.5紧性及有穷维数…………………(76) §2.6线性算子… §2.7有界线性算子……………………………(90) S2.8有界线性泛函与对偶空间…………………(103) 第三章内积空间、希耳伯特( Hilbert)空间……(117)
§3.1内积空间、Hi1bert空间……………(1l8) §3.2直交与直交分解……………………………(127′ §3.3直交集和直交序列………………………(136) §3.4完全标准直交集和序列………………………(146) §3.5 Hilbert空间上泛函的表示…………(155) §3.6 Hilbert伴随算子……………………………(161) §3.7自伴算子、酉算子、正规算子…………(160) 第四章赋范和 Banach空间的基本定理… (173) §4.1Zorn引理…………………………………(174) §4.2哈恩-巴拿赫(Hahn- Banach)定理 自。 (177 §4.3复向量空间和赋范空间的Hahn- Banach 定理………………………………(183 §4.4伴随算子……… s(190) §4.5自反空间………………… §4.6范畴定理、一致有界性定理…………(204) §4.7强收敛与弱收敛……………………………(215) §4.8算子序列和泛函序列的收敛… 。自音看。·。。● (221) §4.9序列可和性的应用………………………(227) §4.10数值积分和弱*收敛……………………(233) §4.11开映象定理………(242) §4.12闭线性算子、闭图象定理…(248) 第五章 Banach不动点定理,逼近理论………(255) §5.1 Banach不动点定理……………(256) §52 Banach不动点定理的应用…(263)
§5.3斌范空中的逼近……… (277) §5.4一致逼近……………… (285) §5.5 Hilbert空间中的逼近 春·鲁带非和。卷 (297) §5.6样条逼近 (301) 第六章赋范空间线性算子的谱论………………(307) §6.1有限维賦范空问的谱论………………………(307) §6.2基概念……………………………(312) §6.3有界线性算子谱的性质……………………(317) §6.4预解式与谱的其他性质…… ·D·香非D看。 (321) §6.5 Banach代数…………………………(327) §6.6 Banach代数的进一步性质…… 音音D非非 (331) 第七章赋范空间上的紧线性算子及其谱………(336) §7.1赋范空间上紧线性算子………………………(336) §7.2紧线性算子的进一步性质…………(343) §7.3赋范空间上紧线性算子谙的性质…………(351) §7.4紧线性算子谱的进一步性质………………(360) §7.5紧线性算子的算子方程……………(368) §7,6 Fred holm型的共他定理………(375) §7.7 Fred hoIn择一性………………………(384) 附录…………………………………………(393 I:复习与参考資料……………………………(393) H:习题答案 (408) 参考书目…………………………;……(54)
前言 泛函分析是近代数学中一重要分支,起源于古典分析, 它将线性代数、线性常与偏微分方程、积分方程、变分学、 逼近论中具有共同特征的问题进行抽象概括,且综合了代 数拓扑和分析结构于一体。泛函分析的基本概念建立于本 世纪初,成熟于50年代,其内容已渗透到逼近论、偏微分方 程、概率论、最优化理论等各方面。近十几年来泛函分析在 工程技术方面的应用日益广泛和有效国内外技术科学的论 文、专著常引用泛函分析的内容和方法,获取学位要通过泛 函分析考试,工科院校的本科或研究生要开设泛函分析课 程,因而我国迫切需要适合工科院校和科技工作者的泛函分 析入门书。 本书是在工科泛函分析教学实践基础上,根据 ERWIN KREYSZIG所著“泛函分析入门及应用”一书编译的。其 特点是准备知识只要求数学分析与线性代数,在保证内容系 统的严谨条件下,避开实变函数论中测度、勒贝格积分等内 容,所需集论与拓扑的知识在附录或有关内容中给出。在概 念引入上注意其实际背景,叙述与证明上做到严谨详尽,并 介绍了某些实际应用。本书附有习题及解答,对较难的题目 给出较详尽的解法,对较易的给出题示。这些都有助于科技 工作者和工科院校学生克服学习近代抽象数学所遇到的困 难。 7
本书是泛函分析入门书,书中包括了泛函分析中最基 的内容:度量空间, Banach空间与 Hilbert室间的性质及有 关算子。谱的理论只作了简单介绍。 本书在编译过程中,得到南开大学定光桂教授的热情指 导,对全书作了校订并写了序,在此深致谢意。 由于编译者水平和经验所限,不足和错误之处难免,诚 恳希望读者批评指正。 编者 7年8月