x=M—般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正数M,使 得曲线y=()在直线x=M的右边部分全部落在这更窄的带形区域内 现设∫为定义在U(∞)或U()上的函数,当x→>-0或x→>时,若函数值 (x)能无限地接近某定数A,则称f当x→-∞或x→时以A为极限,分别记作 imfx)=4或f(x)→4(x→-∞) imf(x)=A或f(x)→A(x→ 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的“x>M”分别改为 “x<-M”或“>M”即可。 显然若f为定义在U(∞)上的函数,则
x = M 一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数 M ，使 得曲线 y = f (x)在直线 x = M 的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。 现设 f 为定义在U (− )或U ()上的函数，当 x → − 或 x → 时，若函数值 f (x)能无限地接近某定数 A，则称 f 当 x → − 或 x → 时以 A为极限，分别记作 f (x) A x = →− lim 或 f (x) → A (x → − ) f (x) A x = → lim 或 f (x) → A (x → ) 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，只须把定义 1 中的“ x M ”分别改为 “ x −M ”或“ x M ”即可。 显然,若 f 为定义在U ()上的函数，则
limf(x)=Ae lim f(x)=limf(x) x→)+00 例1证明Im-=0。 证任给E>0,取M=-,则 当>M时有 M 所以m 0 x→x 例2证明:1) lim arctan x= 2) lim arctan x x-)+00
f (x) A f (x) f (x) A x x x = = = → →+ →− lim lim lim （1） 例1 证明 0 1 lim = x→ x 。 证 任给 0，取 1 M = ，则 当 x M 时有 − = = x x M 1 1 0 1 所以 0 1 lim = x→ x 。 例 2 证明：1） 2 lim arctan = − →− x x ； 2） 2 lim arctan = →+ x x