《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）习题参考答案（5-10）

（答案：h=0.143m；F=10.0N）解：（a）设两板间的凹液面呈半圆柱面，在两板间中心作正交截口得两曲率半径：d5.0×10-5m;R, =R2=00，所以22α2ααaαPAPo=Ap=-Pgh=RR2dd2×0.072αh==0.143m103×9.8×1.0×10-4pgd（b）以水平面为基准，在高度为x处水的压强为：Po一pgx，板外压强为Po，所以板所受到的压强差为Po-(po-pgx)=pgx，方向指向水柱内，板所受到的吸引力为：df = pgx- dx- pgl/z =-↓×10 9. 0. (0.143) =10.0F =Jdf = pgll'xdx =28，在本题图中所示的两边内径不同的U形管中注入水，设半径较小的毛细管A的内径r=5.0×10~m，半径较大的毛细管B的内径R=2.0×10m，试求两管水面的高度差h。已知水的表面张力系数α=7.3×10-N·m-l。AB(答案：h=0.223m）解：在A、B管凹液面下，取a、b两点，则：

（答案： h = 0.143m ； F =10.0N ） 解： （a） 设两板间的凹液面呈半圆柱面，在两板间中心作正交截口得两曲率半径： m d R 5 1 5.0 10 2 − = − = −  ； R2 =  ，所以 R R d pA p p   2 1 2 − 0 =  = + = − ， d gh   2 − = − ， m gd h 0.143 10 9.8 1.0 10 2 2 0.07 3 4 =     = = −   。 （b） 以水平面为基准，在高度为 x 处水的压强为： p − gx 0 ，板外压强为 0 p ，所以 板所受到的压强差为 p − (p − gx) = gx 0 0 ，方向指向水柱内，板所受到的吸引力为： df = gxl dx ， F df gl xdx glh ( ) N h 10 9.8 0.1 0.143 10.0 2 1 2 1 2 2 3 0 =  =   =  =     = 8，在本题图中所示的两边内径不同的 U 形管中注入水，设半径较小的毛细管 A 的内径 r m 5 5.0 10− =  ，半径较大的毛细管 B 的内径 R m 4 2.0 10− =  ，试求两管水面的高度 差 h。 已知水的表面张力系数 2 1 7.3 10− −  =  N  m 。 （答案： h = 0.223m ） 解：在 A 、 B 管凹液面下，取 a 、b 两点，则：

2α2α+Ppgh,Pa+pgh=PoPb=PoR1由此得：112×0.0732α(11hR103×9.85.0×10-52.0×10-4pg(r20.073-(4-1)=0.223m10*×9.8×2.0×10-49，假定在100℃C和1atm下，水的汽化热为L=5.39×10°Cal·kg-，蒸汽的比容为1.67m3.kg-1，试计算在汽化过程中提供的能量中用于作机械功那部分所占的百分比。W（答案：n== 7.5% )L解：水在100和latm下汽化成水蒸气，每公斤水吸收的热量即为汽化热L，L的一部分用于增加水蒸气的内能，另一部分用于体积扩大所作的机械功W，每公斤水变成水蒸气系统所作的机械功为：W = p(V -V录)=1.013x105 ×(1.67-1.0×10-3)在汽化过程中所作作的机械功与吸收的能量的百分比为：Wp(V汽-V)1.013×105×(1.67-1.0×10-3)7.5%。2LL4.186×5.39×10510，M千克固体的密度为p，当温度为T、压强为p,时，熔解为密度为p,的液体，熔解热为L，试求：（a）固体溶解成液体时内能的增量；（b）摘的增量。(11)ML(b) AS =AU= ML- pl（答案：（a）T(P2Pi由能量守恒得：ML=AU+Mp(V-V)解：(a)AU=ML-M(f-)-M[L-(六-(b)Q= ML=TASMLAS:T11，质量为M=0.027kg的气体，占有体积V=1.0×10-m2，温度T=300K。在此温度

gh r p gh p R pb p a     = − = + = − + 2 2 0 0 ， 由此得：        −     =      = − 3 −5 −4 2.0 10 1 5.0 10 1 10 9.8 2 1 1 2 0.073 g r R h   (4 1) 0.223m 10 9.8 2.0 10 2 0.073 3 4 − =     = − 9，假定在 C 0 100 和 1atm 下，水的汽化热为 5 1 5.39 10 − L =  Cal  kg ，蒸汽的比 容为 3 1 1.67 − m  kg ，试计算在汽化过程中提供的能量中用于作机械功那部分所占的百分比。 （答案： = = 7.5% L W  ） 解： 水在 C 0 100 和 1atm 下汽化成水蒸气，每公斤水吸收的热量即为汽化热 L ， L 的一部 分用于增加水蒸气的内能，另一部分用于体积扩大所作的机械功 W ，每公斤水变成水蒸 气系统所作的机械功为： ( ) ( ) 5 3 1.013 10 1.67 1.0 10− W = p V汽 −V水 =   −  在汽化过程中所作作的机械功与吸收的能量的百分比为： ( ) ( ) 7.5% 4.186 5.39 10 1.013 10 1.67 1.0 10 5 5 3 =     −  = − = = − L p V V L W 汽 水  。 10，M 千克固体的密度为 1 ，当温度为 T 、压强为 1 p 时，熔解为密度为 2 的液体，熔解 热为 L ，试求：（a）固体溶解成液体时内能的增量；（b）熵的增量。 （答案：（a）               = − − 2 1 1 1 1   U M L p （b） T ML S = ） 解： （a） 由能量守恒得： ( ) ML = U + Mp1 Vl −Vs ， ( )               = − − = − − 2 1 1 1 1 1   U ML Mp Vl Vs M L p ， （b） Q = ML = TS T ML S = 。 11，质量为 M = 0.027kg 的气体，占有体积 2 3 V 1.0 10 m − =  ，温度 T = 300K 。在此温度

下液体的密度p,=1.3×10kgm-3、饱和蒸汽的密度p。=4kgm-"，假设用等温压缩的方法将此气体全部压缩成液体，试问：（a）在什么体积时气体开始液化？（b）在什么体积时液化终了？（c）当体积为1.0×10-3m2时，液、汽各占多少体积？(答案: (a)V =6.75×10-m2 (b)V, =2.08×10-5m2(c)x。=98.2%;x,=1.8%)M解：（a）当气体达到饱和蒸汽密度时，再压缩时就有气体开始液化。=Pg'VIV= M_0.0276.75x10-3m34PgM（b）当液化终了时，其密度恰好为液体的密度，其体积为V，= Pr'V2M0.027=4=2.08x10-5m3。Pl1.3x103(c）当V=V=1.0×10-3时，液、汽所占体积百分比分别为x,和Xg，则X+xg =1M=27Kg·m3XiPi+XgPg=P3V3解得： -β0- 13x10-27-982% :Pi-Pg1.3×1034X =1-xg =1.8% 。12，当铅在大气压下熔解时，熔点为600K，密度从11.01g?cm2（固体）减少到10.65g·cm（液体），熔解热为24.5J·g，求：在1.01×107Pa压强下熔点是多少？（答案：T=600.75K）Ldp解：由克拉伯龙方程：dT-T(V2-V)_)dp.TL

下液体的密度 3 3 1.3 10 −  l =  kg  m 、饱和蒸汽的密度 3 4 −  g = kgm ，假设用等温压 缩的方法将此气体全部压缩成液体，试问：（a）在什么体积时气体开始液化？（b）在什 么体积时液化终了？（c）当体积为 3 3 1.0 10 m −  时，液、汽各占多少体积？ （答案：（a） 3 3 V1 6.75 10 m − =  （b） 5 3 V2 2.08 10 m − =  （c） xg = 98.2% ； xl =1.8% ） 解： （a）当气体达到饱和蒸汽密度时，再压缩时就有气体开始液化。 g V M =  1 ， 3 3 1 6.75 10 4 0.027 m M V g − = = =   。 （b）当液化终了时，其密度恰好为液体的密度，其体积为 V2 。 l V M =  2 ， 5 3 2 3 2.08 10 1.3 10 0.027 m M V l − =   = =  。 （c） 当 3 3 1.0 10− V =V =  时，液、汽所占体积百分比分别为 l x 和 g x ，则 xl + xg =1 3 3 3 27 − + = = = Kg m V M x x ll g  g  解得： 98.2% 1.3 10 4 1.3 10 27 3 3 3 =  −  − = − − = l g l g x     ； xl =1− xg =1.8%。 12，当铅在大气压下熔解时，熔点为 600K ，密度从 3 11.01g  cm （固体）减少到 3 10.65g  cm （液体），熔解热为 1 24.5 − J  g ，求：在 Pa 7 1.0110 压强下熔点是多少？ （答案： T = 600.75K ） 解：由克拉伯龙方程： ( ) T V2 V1 L dT dp − = ， ( ) dp L V V T dT 2 − 1 =

V,-(p-Po)T=ToeTo= 600KPo =latm(11.01-10.65)×103(V2 -V)_ 1(Ps-PiLL(Pips)24.5×103×11.01×10.65×106LpiPs2=1.25×10-10N-1 .m2T = Tel1.25x10-(p-Po) = 600el-25×10-0x1,0x10 =600.75K,(Vi-v.)或：由于p<<1LVi-Vp=600×1.25×10-10×1.0×107=0.75AT=IV-sApVi-VV-VsAp或：T=Te L= To + T.~T1.LLAp=600×1.25×10-10×1.0×107=0.75AT=TK13，硅酸盐在latm下的熔点为1300℃，液相密度与固相密度之比为0.9，它的熔解热为4.186×105J·kg~，试估算地球表面附近硅酸盐熔点随地层深度的变化。dT（答案：取地表为原点，2方向指向地球中心，=4.1×10-3Km-，即地层1km深处，dz熔点升高4.1K）解：取地表为原点，2方向指向地球中心，地球表面下硅酸盐所受的压强随=的变化为：dp=Psg,dzLdp.-由克拉伯龙方程：dT=T(V-V)dp_ dp dzdz=Psgdz dTdTdT

( ) 0 2 1 0 p p L V V T T e − − = ， T0 = 600K p0 =1atm ( ) 3 6 3 2 1 24.5 10 11.01 10.65 10 1 1 1 (11.01 10.65) 10     −  = − =        = − − l s s l L L l s L V V       10 1 2 =1.2510 N m − − ( ) T T e e K p p 600 600.75 10 7 0 10 1.25 10 1.25 10 1.0 10 = 0 = =  −    − − ， 或： 由于 ( )  1 − p L Vl Vs 600 1.25 10 1.0 10 0.75 10 7 0  =     =      − = − p L V V T T l s   或： p L V V p T T L V V T T e T l s l s p L Vl Vs    −  = +      − =  + − 0 0 1 0 0 ， 600 1.25 10 1.0 10 0.75 2 1 10 7 0  =     =      − = − p L V V T T  13，硅酸盐在 1atm 下的熔点为 C 0 1300 ，液相密度与固相密度之比为 0.9 ，它的熔解热为 5 1 4.186 10 −  J  kg ，试估算地球表面附近硅酸盐熔点随地层深度的变化。 （答案：取地表为原点， z 方向指向地球中心， 3 1 4.1 10− − =  K  m dz dT ，即地层 1km 深处， 熔点升高 4.1K ） 解：取地表为原点， z 方向指向地球中心，地球表面下硅酸盐所受的压强随 z 的变化为： g dz dp =  s ， 由克拉伯龙方程： ( ) T Vl Vs L dT dp − = ， dT dz g dT dz dz dp dT dp = =  s

Lpidz两式联立：T(l-pi/p.)=Ps8dTdT_ Tg(1-Pi/ps)Lpi Ps_ Tg1573×9.8=4.1x10-3K.mdzLPi9L9×4.186×105即地层1km深处，熔点升高4.1K。14，氢的三相点温度为T，=14K，在三相点时，固态氢密度ps=81.0kg·m-3，液态氢密度Pl=71.0kg·m2，液态氢的蒸汽压方程为：np=1833-12-0.3nT,TP=6795Pa；溶解温度和压强的关系为：Tm=14+2.991×10-p（式中压强单位均为Pa），试计算：（a）在三相点处的汽化热、熔解热和升华热：（b）升华曲线在三相点处的斜率。（答案：（a）在三相点处的汽化热L=4.895×10°J.kg-l、熔解热L=8.139×10*J-kg-l雲=4.763×10° Pa·K-)和升华热L=5.709×10"J·kg~l；（b）dT解：（a）由克拉伯龙方程得汽化线的斜率：LLdpAp-LRT2d=TVT(Vg -V))由蒸汽压方程微商得：dp_(1220.3)=p(72TdT两式在氢的三相点取值，汽化热为：0.3)RT.rRT21221228.31x14(122-0.3|= 4.895×105 J.kg0.3T2Tr0.002u14u将Tm=14+2.991×10-p求导，L1dp2.991×10-77T.(V-V)dT11T (Vi-V.)7181熔解热L==8.139×104J2.991x1072.991x107升华热L=L汽化热+L熔解热=5.709×105J·kg-l

两式联立： ( ) dT dz g T L s l s l     = 1− ， ( ) 3 1 5 4.1 10 9 4.186 10 1573 9.8 9 1 − − =      = = − = K m L Tg L Tg L dz dT l l s l s      。 即地层 1km 深处，熔点升高 4.1K 。 14，氢的三相点温度为 Ttr = 14K ，在三相点时，固态氢密度 3 81.0 −  S = kg  m ，液态氢密 度 3 71.0 −  L = kg m ，液态氢的蒸汽压方程为： T T p 0.3ln 122 ln = 18.33 − − ， ptr = 6795Pa ；溶解温度和压强的关系为： Tm p 7 14 2.991 10− = +  （式中压强单位 均为 Pa ），试计算：（a）在三相点处的汽化热、熔解热和升华热；（b）升华曲线在三相 点处的斜率。 （答案：（a）在三相点处的汽化热 5 1 4.895 10 − L =  J  kg 、熔解热 4 1 8.139 10 − L =  J  kg 和升华热 5 1 5.709 10 − L =  J  kg ；（b） 3 1 4.763 10 − =  Pa  K dT dp ） 解：（a） 由克拉伯龙方程得汽化线的斜率： ( ) L RT p TV L T V V L dT dp g l g 2   = − = 由蒸汽压方程微商得：       = − T T p dT dp 122 0.3 2 ， 两式在氢的三相点取值，汽化热为： 5 1 2 2 0.3 4.895 10 14 122 0.002 8.31 14 0.3 122 0.3 122 −  =        −  =        = −         = − J kg T RT T T RT L tr tr tr tr tr   将 Tm p 7 14 2.991 10− = +  求导， ( ) tr Ttr Vl Vs L dT dp − =   =      −7 2.991 10 1 ， 熔解热 ( ) 4 1 7 7 8.139 10 2.991 10 81 1 71 1 14 2.991 10 − =          − =  − = J kg T V V L tr l s ， 升华热 5 1 5.709 10 − L = L汽化热 + L熔解热 =  J  kg