由于lim 1≠0,故它是发散的.因此,原级数也发 散 注意,若用达朗伯耳判别法,将遇到与2587题类 似的情况 2589.∑ A=1(2n2+n+1) 解由于 a-1 (2n2+n+1)2(n2)2 且级数∑力收敛,故原级数也收敛 注意,若用达朗伯耳判别法,则有 li 十1 =li (n+1)”(2n2+n+1) →Cn (2n2+5n+4)z lim(1+±)· 2n2+n+1 (272+5+4)(zn2+5n+ 1_1 <1, 也可证得原级数收敛. 2590.√2+√2-√2+V2-√2+√2 +V2-V2+V2 ●。。 解方法一 23
4 -Sin -, 4 2 2 2sin 4 8 2-V2+√2 2-√2+2cosz v2-2cos 0=2sin 16, 8 利用数学归纳法,可证得通项为 1n+ 由于 2sin2-#z 2sin <1, 故级数牧敛 方法二: 2-√2·√2+ 2+√2 2 2+√2 V2-√2+ 24
2-√2+√2·√2+√2+√2 2+V2+√2 2-√2 √2+√2+√2 利用数学归纳法,可证得 √2_√2+√2+…+√2 重根号 2+2+V2+…+√2 n衩号 2-√2+√2+…+√2 n-1)重根号 由于 √2+√2+√2+…√2 n根号 <1 故级数收敛 )利用637题的结果 25
2591.证明:若 =q(an>0), 则an=0(q),其中q1>q 证由于Im=q故利用141题的结果,即得 liml a →a 令E=2(q1-g)>0,则由上式知存在n0,使当 ≥n0时,有 q 从而有 a.<q+=q(n≥m0), 其中k=里+g<1,利用x=0(1),即证得 a,=x i=o(i). 2592证明:若 lim q<1(an>0), 则级数∑a收敵 相反的结论不真.研究例子 +3+2+++京+ 证取0<e<1-q,由于 故存在n,使当n≥m时,有 26
an+<q+e=1<1 从而 由于级数∑p-收斂故级数∑a收敛从而级数 n收敛 反之不真,例如,级数 十十立+立++ 显然是收敛的但是, (2)1,当n=2m+1; 12(号”,当n=2 故有 2593证明若对于级数∑a(a>0)极限 lim (A) 存在,则 limNa.=9 (B) 也存在, 相反的结论不真:若极限(B)存在,则极限(A)可以 不存在研究例子 27