(数学模型 第六章微分方程建糢Ⅱ 61捕鱼业的持续收获 6,2军备竞赛 6.3种群的相互竞争 64种群的相互依存 65种群的弱肉强食
第六章 微分方程建模II 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食
(数学模型 稳定性模型 对象仍是动态过程,而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势—平衡状 态是否稳定 不求解微分方程,而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性
稳定性模型 • 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性
数学模型 6.1捕鱼业的持续收获 背景·再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发—在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题·在捕捞量稳定的条件下,如何控 及分 祈制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定
6.1 捕鱼业的持续收获 • 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题 及 分 析 • 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景
(数学模型 产量模型x(0~渔场鱼量 假设·无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic#律 x(t)=f(x)=Xx(1-) r固有增长率,N最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex,E~捕捞强度 建模 记F(x)=f(x)-h(x) 渔场鱼量满足(t)=F(x)=nx(1x)-E 捕捞情况下 不需要求解x(O,只需知道(稳定的条件
Ex N x x(t) = F(x) = rx(1− ) − ( ) ( ) (1 ) N x x t = f x = rx − 记 F(x) = f (x) − h(x) 产量模型 假设 • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下 渔场鱼量满足 • 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量
(数学模 阶微分方程的平衡点及其稳定性 x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程 P(x)=0的根xo~微分方程的平衡点刘=0→x≡x 设x()是方程的解,若从xo某邻域的任一初值出发, 都有mx(t)=x0,称x0是方程1)的稳定平衡点 t→)o 不求x(0判刘断x稳定性的方法一直接法 (1)的近似线性方程x=F(x0(x-x)(2) F(x)<0→x稳定(对(2)() F(x)>0→x不稳定(对(2),(1)
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x = F(x) (1) 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 0 0 0 x x x x=x = 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发， 都有 lim ( ) , 0 x t x t = → 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 ( )( ) (2) 0 0 (1)的近似线性方程 x = F x x − x ( ) 0 ( (2),(1)) F x0 x0 稳定 对 ( ) 0 ( (2),(1)) F x0 x0 不稳定 对