及∑b 的各项不为负数,问下列二级数的收敛性若何 (a)∑min(an,)及(6)∑max(anb,)? 解(a)∑min(an,b)可能收敛也可能发散例如级 数 1 及∑ 皆发散,但是 ∑min(anbn)=0+0+…+0+…却收敛又如级 数∑n及∑2皆发散,但是∑mna,6)=∑2 也发散 (6)∑max(anb,)一定发散事实上 max(anb)≥an≥0, 而级数∑a发散故级数∑max(an,b)也发散 2568证明若级数∑a(an≥0)收斂则级数∑a也收敛 倒过来不成立,举出例子 证由于∑a收敛,故man=0,于是,总存在n使 当n≥n时,有0≤a.<1.从而,当n≥n时,有 0≤a<a灬由于级数∑a收敛,当然级数∑a收敛, 12
故级数∑a收敛从而,∑a也收敛 反之不真例如,=1级数∑a收敛,而级数 a却发散. 2569证明,若级数∑a及∑收敛,则级数 ∑la.n|,∑(an+b,)2,2 也收敛 证由于0≤2{a,bn≤a+b,且级数∑(a2+b) 收敛故级数∑|a,bn|收敛 其次,由于(a+b)2=a2十+b+2anbn且级数 ∑a∑及∑a皆收敛故知级数∑(a+b) 也收敛 最后,设b=1,利用第一个结果即证得级数 la ∑6收斂 2570证明,若 limna a≠0 则级数∑a发散. 13
证mn=不妨设a>0.由于 limna,=a故对于任 给的0<<a,总存在no,使当n≥时,有1>a E>0或an>(a-E)±>0. 如果级数∑a收敛则级数∑a也收敛从而会 得出级数∑L收敏的错误结论因此原级数∑a发 散 257证明若各项为正且其值单调减少的级数∑a收敛, 则 limna =0 证对于任何的m与n>m,我们有 (n-m)an<an+1+an+2+…十a<am 其中am为该收敛级数的余式,由此得 n一n 由于级数∑a收敛,故对于任给的E>0,我们可 取定某m,使 a &E 其次,由于lim =1,故存在n0(n0>mo) 使当n≥n。时,有
<2. nlO 于是,当n≥n时,有 O<na <2E 因此, limna=0.本题获证 2572.若当≈12,3,灬时,im(an+1+an2+…+an+p) 爬一 0问级数∑a是否收敛? 解若当p=1,2,3,…时, lim(a+ tan+2t.+a,+e)=0, (1) 并不一定有级数∑a收敛例如取a=,显然级数 发散,但却有 0<an+1+an+2+… y+n+2 1 ntpn+I 而lim n+1 0,故对一切p(1)式均成立 这个事实与哥西准则并不矛盾,因为在哥西准则 中,对于任给的e>0,存在数N=N(e),使当n>N和 p>0时,不等式 an+2+…+an+,|<E 成立,则级数∑a收敛其中的N只依赖于E,而与P无 关.本题的叙述中,条件并没有排除N要与户有关 利用哥西准则,证明下列正项级数的收敛性 15
2573.a++…+;+…(|an|<10) 证|S+P-S。|= +÷G#+“+G+ ≤1m4+10+1+…+1n+=1 10 1+1n+… 10 任给e>0,要|s+-S<,只要p<9,即只要 2+lg 取N=2+ga〕,则当n>N时,不等式 IS,te-S.<e 对一切正整数皆成立因此级数∑收斂 2574.5mx+9+…￥Z sInn 证|S…+-Sn|= sin(n+1)x sin(n+p)x 需+I +… ≤a4+… 2 由于级数会收做故按哥西准则对于任给的 e>0,总存在正整数N使当n>N时,对任意正整数 16