cosa 9cosa--q 2 2gcosa+q 2552.∑(√n=2-2√m+1+√n) 解由于 Sn=(√3-2√2+1)+(√4-2√3+√2) +(√5-2√4+√3)+(√6 +√4)+…+(√n+2-2√n+1+√n) 1-√2+√n+2√n+1=1-√ √n+2+√n+1 故得 S= linS=1-√2 2553研究级数∑sinx的收敛性 解记x=k.若k为整数,则由 SInn:=0知级数 sinn]T是收敛的,且其和为零.若k非整数,我们以下 将证sinx并不趋于零于是级数∑sin发散可采 用反证法.假设 limsinnx=0, 则当n-∞时也有sin(n+1)x→0.但是 sin (n+1)x=sinnxcosrfcosnrsinnx, 由sin(》+1)x→0及 sInn→0(当n→∞时)知 cosntsin z→0(当n→∞时),而sin= sink≠0,故必有 IncoN 0 6
但 1=sin"nx+cosnx 令n→∞,两端取极限,即得左端为1而右端为0,这就 产生了1与0相等的谬论,这个矛盾证明了此假设不 真,也即sinx+0(当n→∞时),从而级数∑sinx的 发散性获证, 2554.证明,若级数∑a收敛则把该级数的项经过组合而不 变更其先后次序所得的级数 ∑A,其中A, a(p1=1,内<户2<…) 也收敛且有相同的和反之不真.举出例子 证设级数∑A的部分和叙列为 l1,l2,…L 则l=∑A 由于级数∑a收敏,故其部分和叙列{S}趋于定 值S.因此, liml=limS力n+-1=S, 即级数∑A是收做的,且与级数∑a有相同的和 反之不真.例如,级数 1-1+1-1+…+(-1)1+… 是发散的,但按下述方法组成的级数
(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+ 却是收敛的. 2555证明,若级数∑an的各项是正的而把这级数的项经过 组合而得到的级数∑A.收敛则原来的级数∑a也 收敛 证由于∑A收敛,记其和为S考虑原级数的部分 和S。=∑a4并注意到a>0(=1,2,…),故存在 ,使 S ,<>A<s 显然S,<S+;对一切n成立.于是,{Sn}单调上升且有 界因此极限limS存在有限,即原级数∑a收敛 研究下列级数的收敛性: 2556.1-1+1-1+1-1+ 解由于通项an=(-1)1当n→∞时的极限不存 在更不可能趋于零故级数∑(-1)1发散 2557.0.001+√0.001+列0.001 解由于 iman=lm√0.001=1≠0, 一一 故级数∑0.001发散 8
数∑ )2也收 敛 2563.-+ 十… √n+1 解由于0<<士且级数∑收敛故 级数∑—}也收敛 2564. 十 …+ 1.3 3·5 (2n-1)(2n+1) 解由于 √(2n-1(2n+1)也发小 >n>0且级数 1)(2n+1) 发散故级数∑ 2565证明,由等差级数各项的倒数组成的级数是发散的 证设等差级数为∑〔a+(n-1)d,其中d为公差 当d>0时,总存在正整数n,使a<(n-1)d, 则当n≥n时,总有a+(n-1)d<2(n-1)d.于是, a+on 注意到级数>2m发散,因而级数∑a+(n-=12 发散故级数∑ Ha+(n-1)也发散 当d=0时,a不可能为零,此时级数++ 10
++…显然发散 当d<0时,将此级数的各项乘以-1即化为d>0 的情形,于是,这级数也发散 总上所述,不论d为何值级数∑a+a-1 均发散 25660明若级数∑a(A及∑b(B皆收敛且a≤c≤ b(n=1,2,…),则级数∑C)也收敛若级数(A)与 (B)皆发散,问级数(C)的收敛性若何? 证当级数(A)及(B)收敛时,由于an≤c≤b,故 0≤c-an≤b一an因为级数∑(bn-an)收敛,故 级数∑(cn-an)也收敛,再由级数∑an及∑〔Gn an)的收敛性即得知级数∑an+(cn-a,)=∑c也 收敛 若级数(A)与(B)皆发散,则级数(C)可能收敛, 也可能发散例如,级数 l-1-1 及1+1+1+ 皆发散而级数∑当c=0(-1<cn≤1)时收敛; 当c=2(-1<cn<1)也发散 2567.设已知二发散级数