26 线性代数与解析几何学习辅导 解设交点为D(5+4t,2+3t,-1-2t),则 0D1l,(4,3-2)·(5+4t-0,2+3t-0,-1-2t-0)=0, 即 46+40)+3(2+30)-2(-1-20)=0→t=-29 28 故交点为（货），从面所求直线为 后=6-后 例2.3分别求出满足下列条件的直线方程： )过点23-9且行于直线号2-号-告 3 (2)过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1,y-3z=2平行； (3)过点(-1，-4,3)并与下面两直线 x=2+4t 2x-4划+z=1 x+3y=-5 y=-1-t 2=-3+2t 都垂直 解(1)直线方程为 (2)v=(1,0,2)×(0,1,-3)=(-2,3,1)即为直线方向，所以直线方程为 王=y=2=8-4 -2=3 (3)直线I的方程可写成参数形式 x=3t-5 y=-t z=11-10t 即 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第2章空问解析几何 直线Ⅱ可化为 -2=y+1=+3 4 -1=2 故 v=(3,-1,-10)×(4-1,2)=(-12,-46,1) 所以所求直线方程为 例2.4求过点M1(2,-1,3)和M2(3,1,2)且垂直于平面0：6x-2y+3z +7=0的平面. 分析为了确定所求平面的法向量n,只要先求出与n同时垂直的两个不共 线的向量，然后利用向量积即可得到n. 解依题设知M1M=(1,2,-1),且M1M⊥n,又平面To垂直于所求平面， 故其法向量no⊥n,所以可取 i方k n=M1Z×n0=12-1=(4,-9,-14): 6-23 又所求平面过点M1,故所求平面的方程为4(x-2)-9(y+1)-14(2-3)=0,即 4x-9y-14z+25=0. 注建立平面方程时，要善于把确定平面的几何条件转化为向量之间的关系 例2.5求两点M1(c1,1,),M2(x2,2,2)的垂直平分面（中垂面）的方程. 解（方法1）MM2的中点为M(十，十距，十2），MM2的垂 2 2 直平分面就是过Mo点，且以M1M2为法向量的平面，故它的方程为 化简后得 (2-1r+(伽-班y+(a-)2=(喝-)+(6-)+（号-》 (方法2)设M(z,z)是1M的垂直平分面上动点的坐标，它到点M1和 M2的距离相等，即|M1M川=|M2M,写成坐标形式为 (x-x1)2+(y-1)2+(a-a1)2=(x-x2)2+(y-2)2+(z-2)2 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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28 ·线性代数与解析几何学习辅导 化简后得 (22-)x+(-h)w+(2-)z=(-)+(6-)+(-》. 例2.6求通过点M(1,3,-1)且同时垂直于两个平面2x-2+1=0和y=0 的平面方程， 解设所求平面的法向为n,则由题意，n同时垂直于两个已知平面的法向， 而2x-z+1=0和y=0的法向分别为 n1=(2,0,-1),n2=(0,1,0) 所以 k n=n1×n2=20-1 =(1,0,2) 010 故所求平面方程为 (x-1)+2(z+1)=0, x+2z+1=0. 例2.7设平面通过点(4，-7,5)且在x,弘，z三坐标轴上的截距相等，求平面 方程. 解利用平面的截距式方程，由题设，可令平面方程为 后++后1 又++日=1，得a=2放平面方程为+g+-2=0 例28求直线钱{中+十1二8在平面：+9+：=0上投能直线的方程 解（方法1）直线与平面的交点坐标满足 x+y-2-1=0 E-y+2+1=0 x+y+2=0 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第2章空问解析几何 即坐标为(0号)已知直线的方向向量为 01=(1,1,-1)×(1,-1,1)=(0,-2,-2). 令 v2=v1×n=(0,-2,-2)×(1,1,1)=(0,-2,2). 故所求直线方向向量为 v2×n=(0,-2,2)×(1,1,1)=(-4,2,2). 故所求直线方程为 1 1 (方法2)投影直线落在平面x+y+z=0上，也落在过已知直线的某平面上， 可设为 x+y-2-1+A(x-y+2+1)=0. 其垂直于平面 x+y+z=0. 处 (1+入，1-入，-1+)(1,1,1)=0， 即 1+入+1-入-1+入=0台入=-1. 即为y-z-1=0,故所求直线为 [z+y+z=0 (y-2-1=0 例29一平面过从点M1,-1,1)到直线L:{二合1=0的垂线，并垂 直于平面=0，试求其方程. 解直线L的方向向量为 v=(0,1,-1)×(1,0,0)=(0,-1,-1). 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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30 线性代数与解析几何学习辅导 设M到L的垂足为P(xo,0,0),则 (x0-1,0+1,20-1)·(0,-1,-1)=0, 即 0+20=0. 又P在L上，所以 0-0+1=0 0=0 (0+20=0 解得 0=0 0=-1/2 0=1/2 所以垂线方程为 所以所求平面的法向 n=(1-2)×0a,)=(2-10 故所求平面为 c-1)-g+)=0, 即x+2y+1=0. 例2.10分别按下列各组条件求平面方程： (1)平分两点A(2,3,4)和B(3,1,5)间的线段且垂直于线段AB: (2)与平面6x+3y+2z+12=0平行，而点(0,2，-1)到这两个平面的距离 相等； (3)经过点M(0,0,1)及N(3,0,0),并与Oxy平面成π/3角： (4)通过x轴，且点（⑤，4,13）到这个平面的距离为8个单位 解(1)平面的法向与AB同向，可令 n=A2=(1,-2,1. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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