第2章空问解析几何 31 而AB中点M的坐标 (侵2)平面过M点且法向为m,放 (-）-2g-2+(-)=0 即x-2y+z-3=0. (2)因为所求平面与6x+3y+2z+12=0平行，所以可设平面为 6x+3y+2z+a=0. 由已知条件 3×2+2×(-1)+12_13×2+2×-1)+@ V62+32+22 V62+32+22 即4+a=±16，解得a=12或a=-20,由题意知a=-20. 故平面方程为6x+3y+2z-20=0. (3)因为平面与Oxy平面成π/3角，所以可设法向为 n=(a.0.cos), 且 2+P+eoe2餐=1 得 又因为nL成，即n示=0，即a-ce背-0，所以a=后故6=± 因此所求平面方程为 -0±g-0+-=0 x±V26y+3z-3=0. (4)因为平面通过x,所以可设平面方程为 ay+bz=0. 由题意得 |4a+136 Va2+2 =8, 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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32 线性代数与解析几何学习铺导 即 64(a2+b2)=16a2+104ab+16962. 令 b=4→3a2-26a-105=0. 解得a=3或a-空 故所求平面方程为 3y-4z=0或35y+12z=0. 例2.11求与两平面x+y-2z-2=0和x+y-2z+2=0等距离的平面. 解设M(x,头，z)为所求平面上的任一点，则由题意得 工+y-2-2_z+w-2z+2 V12+12+22V2+12+2 →x+y-2z-2=-(x+y-22+2) →x+y-2z=0. 这就是所求平面方程. 例2.12求点(1,1,1)关于平面6x+2y-9z+122=0对称点的坐标. 解可设该点的坐标为(6+1,2+1，-9+1)，则(3+1，t+1,-号+1应 在平面上，即 18+2+82+121=0÷6=-2 故所求点的坐标为(-11，-3,19). 例21B求点2司关于直线导=号-号的时你点 解可设点(1,2,3)在直线上的投影为（化，4-3t,3-2),则 (t-1,4-3t-2,3-2t-3)(1,-3,-2)=0, 1-7=0→t- 故投影点为（侵号2）（段影点是已知点与所求点的中点），从而所求点坐标为 (0,3,1). 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第2章空间解析几何 33 例2.14求点(2,3,1)在直线x=t-7,y=2t-2,z=3t-2上的投影. 解可设投影为(t-7,2t-2,3t-2),故 (t-7-2,2t-2-3,3t-2-1)(1,2,3)=0 →t-9+4t-10+9t-9=0→t=2. 故投影点为(-5,2,4). 例2.15求点(2,1,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解过点(2,1,0)且垂直所给平面直线方程为 x=2+t y=1+2t z=-t 代入平面方程得 2+t+2+4t+t+1=0→t=-5/6. 故所求投影点坐标为（7/6，-2/3,5/6) 例2.16试判定点M(2,-1,1)与原点在平面 x+5y+12z-1=0 的同侧还是异侧。 解空间一平面Ax+By+Cz+D=0将空间中的点分成三部分：在平面 上以及在平面的两侧，平面上的点的坐标满足平面方程，平面一侧的点的坐标满 足Ax+By+Cz+D>0,而另一侧点的坐标满足Ax+By+Cz+D<0,因此， Ax+By+Cz+D的值的正负可以判断两个（或两个以上）点是否在平面的同一 侧.本题中，由于 2+5·(-1)+12-1=8>0, 0+5.0+12.0-1=-1<0, 所以点M(2,-1,1)与原点在平面x+5y+12z-1=0的异侧. 例2.17求下面两直线的夹角： 2x-2y-2+8=0 和 4x+y+3z-21=0 x+2y-2z+1=0 12x+2y-3z+15=0 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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34 线性代数与解析几何学习辅导 解求两直线的夹角，一般先求出两直线的方向，再利用夹角公式即可， v1=(2,-2,-1)×(1,2,-2)=(6,3,6), 2=(4,1,3)×(2,2,-3)=(-9,18,6) cm9=贵-=4p21 36 故夹角0=arccos2i 例2.18证明下列各组直线互相平行，并求它们之间的距离 上+7=-5=-9和：{ 2x+2y-2-10=0 3 -1 4 x-y-2-22=0 ②上{2w+=0和：{列-2=8 (3y-4z=0 4y+z=4 解(1)因为 (3,-1,4)(2,2,-1)=0, (3,-1,4)(1,-1,-1)=0, 故两直线平行，直线Ⅱ上显然有一点(15，-9,2)，该点到直线I的距离为 d=w1×(2,-14,-7刃-V632+109+20 =25 √32+12+42 故所求两直线的距离为25. (2)易知这两条直线均平行于x轴，而直线I与Oyz平面的交点为(0,0,0) 1612 直线Ⅱ与0g:平面的交点为(0,3-号)，故两直线距离为 d=+('+(- 例2.19证明下列两条直线垂直相交，并求出其交点： {+=1和{-g=1 2y-2=1 (x-2z=3 解因为两条直线的方向分别为 v1=(1,2,0)×(0,2,-1)=(-2,1,2), 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第2章空间解析几何 35 v2=(1,-1,0)×(1,0,-2)=(2,2,1) u1·u2=0.故两直线垂直. 又解 x+2y=1 =1 2y-z=1 x-y=1 y=0 =-1 x-2z=3 故(1,0，-1)是两直线的交点，从而两直线确实是垂直相交的. 例2.20求直线与平面的交点： ①=12-y29-=1,3如+5则-2-2=0 4 3 1 回告3-营-则+2-5=0 解(1)求直线与平面的交点，一般方法是先把直线写成参数形式，再代入到 平面方程，求出参数值 令x=12+4钻，y=9+3t,名=1+t.代人到平面方程，故 36+12t+45+15t-1-t-2=0→t=-3. 因此交点坐标为(0,0，-2). (2)因为 vn=(2,4,3)(3,-3,2)=0. 故直线与平面平行，而(-1,3,0)不在平面上，故直线与平面没有交点. 例2.21求直线与平面的夹角p: (红+4- ②5=号-号3趾-2y+72=8 解(1)直线方向向量为 v=(3,-2,0)×(3,0,-1)=(2,3,6) 平面法向n=(6,15,-10),则 咖=-742而=离 112+45-60| 3 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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