第2章空间解析几何 2.1直线与平面 内容提要 1.空间直线方程的几种形式 一个点、一个方向确定一条直线，即经过一点M6(0,0,0,平行一非零向 量v=(亿，m,n)有唯一的一条直线MoM,其中M(a,z)为动点. (1)向量式 MoM与u共线÷Mo=Aw 台r=r%+Aw,r0=O,r=O,入为参数 (2)参数式 x=o+Al y=%+m,入为参数，-0<入<+0∞， 之=0+入n (3)点向式 工一0=y-0=之-0 m n (4)两点式 过空间两点Mo(xo,0,20),M1(x1,1,)的直线方程为 工-0=-咖=名-0 21-0 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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22 线性代数与解析几何学习辅导 (⑤)一般式（直线看成两不平行平面的交线） Ax+By+Cz+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 2.空间平面方程的几种形式 两相交的直线可确定一个平面，相当于一个点、两个方向.设Mo(0,0,0), M(c1,1,M(2,2,2)为不共线三点，n=(A,B,C)为平面法向，y1= (1,m1,n1),v2=(2,m2,n2)为两个不共线向量，M(x,y,z)为平面上任一点. (1)平面的向量式方程 已知平面过M0与两不共线向量v1,v2,则 MM与u1,U2共面片M0M=sw1+w2,s,t为参数 r=ro+su+tv2,r=OM,ro =OMo. (2)参数式 已知平面过M0及v1,v2,则 x=To+sh+tl2 y=0+sm+tm2,s,t为参数 z=z0+sn1+tn2 (3)点法式 平面过点Mo,法向为n,则 A(x-x0)+B(y-)+C(z-0)=0. (4)平面的一般式方程 Ax+By+Cz+D=0. 只要A,B,C不全为0，它就表示空间的一张平面，D=0表示平面过原点. (5)三点式方程 平面过三点Mo,M1,M2,则 Mod.(Md×MoM2)=0. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第2章空问解析几何 23 写成坐标形式，即为 x-0y-0之-0 工1-x01-0名-20 =0. x2-x02-022-20 (6)截距式方程 +昌+=1 α，B,y分别是平面截三坐标轴所得的截距 3.点到直线的距离 已知直线上：一0=-功=名二，直线外有一点M(1,h,求点M 到直线L的距离d令M-化，0=化，m,川.则 d=D×MoM w川 4.点到平面的距离 设平面T:Az+By+C2+D=0及平面外一点Mo(o,0,0,则M0到π 的距离（垂直距离）为 d=LAzo+Byo+Czo+D VA2+B2+CZ 5.两直线的位置关系（共面或异面） 设有两直线 L1: 花-西=-边=名-刘 1 m1 nI L2: 二2=一驰=名-2 m2 n2 (1)L1,L2共面（相交或平行） 2-212-斯2-1 h mi n =0. m2 n2 特别地，L1与L2平行或重合台U1=w2. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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24 线性代数与解析几何学习辅导 (2)L1与L2异面（不共面，既不相交也不平行） 设异面直线L1,L2的夹角为P,则 12= 1l2+m1m2+n1n2 wv2lV+m+nV+m号+n 设CD是L1和L2的公垂线（同时与L1和L2垂直相交的直线）.则L1与 L2的距离 d=lCD1=1w×MM w1×02 6.两平面的位置关系（平行、重合、相交、垂直） 设有两平面： T1:A1x+Biy+Ciz+D1=0. T2:A2x+B2y+C22+D2=0. 国南街光-层-会手会 (2)T1,2重合台 (③)T1,T2相交台x,2的对应系数不成比例， 两个平面相交所成二面角（两个互补的角）p定义为其法向量1,2所夹的 锐角或直角. m-别牛+C保Vm房+ A1A2+B1B2+CiC2l (4)T1,T2垂直台n1⊥n2台A1A2+B1B2+CC2=0. 7.直线与平面的关系（平行或相交） 设直线为四=二驰=名二0，平面方程为Ar+By+C2+D=0,则直 线的方向向量为节=（亿，m,列，平面的法向量为n=(A,B,C). (1)若vn≠0，则直线与平面相交 (2)若vn=0,且M6(x0,0,0)不在平面上，即 Ar0+B0+C20+D≠0. 则直线与平面平行. (3)若v·n=0,且M6(ao,0,0）在平面上，则直线在平面内 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第2章空问解析几何 25 8.平面束方程 设空间直线L的方程为 A1x+By+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 则 X1(A1x+B1y+C1z+D1)+X2(A2x+B2y+C2z+D2)=0. 其中，入1与入2是不全为零的任意常数.它表示通过直线L的所有平面. 例题分析 例1求过点1，)且与直线4：=号=号和6：之=y+2=3 都相交的直线方程 解设所求直线方程为工：=”= m n 设U1=(1,2,3),M1=(0,0,0),M=(1,1,1),v=(亿，m,n),v2=(2,1,4),M2= (1,-2,3). 因为L与l1共面相交，所以v1,v,M山f共面，即 M1M.(u1×v)=0,即l-2m+n=0. 0 同理，L与2相交，所以u2,M2共面，得 14l-4m-6m=0. (2】 由式()、式②解得m-n=多，不妨设1=4 于是可取（亿，m,n)=(4,5,6) 所以，所求直线方程为 4 例22求原点到直线行-兮-号的垂线方程 4 -2 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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