16 线性代数与解析几何学习辅导 例1.27设a,B,y是三个不共面的向量，求任意向量￡用向量a,B,Y表示 的组合系数 解设5=xa+yB+y. 将上式两边与B,Y作混合积，有 (ξ，B,Y）=x(@,B,Y)+y(B,B,Y）)+z(Y,B,Y)=c(a,B,Y) 由于a,B,Y不共面，(@，B,y)≠0，得到 =6B.Y) (a,B,Y) 同理可得 (a,B,) 6-a+8 +a,0B+a,8. @,8,)Y 注在学习解线性方程组的克拉默(Cramer)法则后再来看看这个例题的 意义 1.3复数 内容提要 复数就是形如z=x+iy的数，其中i为虚数单位√一L,而x,y为实数，分 别称为复数z的实部和虚部，记作Rez和Imz. 设=x1十i1,2=x2+i2为两个复数， 1.复数的加法与减法 +2=(x1+2)+i(1+2, 21-2=(x1-x2）+i(h-2) 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 1 2.复数的乘法 复数乘法的坐标表示： 设1=1+i1,2=x2+iy2,则 212=(x1+iy1)(c2+i2)=(x1x2-h2)+i(x12+x21) 复数乘法的三角表示 2=r1(cos01+isin0),z2=r2(cos02+isin02), 12=r1r2(cos(01+02）+isin(01+02) 几何意义：设1,2在复平面内对应的向量分别为O正，0丽，12为O,它 的模为r1r2,辐角为01+02，即对01再按逆时针方向旋转02. 3.复数的除法 复数除法的坐标表示： 2+i业=2+i2儿c1-i）=12+h2)+i(x12-2】 x1+i1(x1+i1)(x1-i1) zi+y 复数除法的三角表示： 会-2ew0-+ia0-》 几何意义：设12在复平面内对应的向量分别为0,0正，/2为O户 它的模为T1/r2,辐角为01-02，即对01再按顺时针方向旋转02. 4.复数的乘方和开方 设z=r(cos0+isin0),设n为正整数，则 2"=r"(cosne+isinne), csin 2) n n 例题分析 例1.28已知z=1+i,求. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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18 线性代数与解析几何学习辅导 解由题意得 z=1+i=V2(cocs+isim9）)】 V2=V2 cos 2kn+4+isin 7π 2k+4 k=0,1,2,.,n-1. n 例1.29已知复数z=1+i,如果 22+az-b 22-z+1 =7-i,求实数a,b的值 解由题意得 z2+az-b(1+i)2+a(1+i)-b 22-2+1=0+12-(1+0+1 =(a+2)-(a-b)i=7-i. 比较实部和虚部，得a=5,b=4. 例130设：为虚数“=+}为实数，且-1<u<2求以的值及：的 实部取值范围。 解设z=a+i,a,b∈R,则 =+a+板+g西=a+++会 1 2 a b\ =(a+4)+(（-a4)月 b 由w为实数，知6-2十=0，由之为复数知6≠0，所以2+2=1，即 |z=√a2+=1.有w=2a,由-1<w<2得-1/2<a<1 例131给定实数a,b,c,已知复数满足 =a==1，岛++会=1. 求laa1+b2+cz3的值， 解设多=心务=，得 22 3=ei0+p), 对ei0+ep+e-i(+p)=1两边取虚部，得 sin0+sin-sin(0+) 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 19 2 2 -2m(m2-w） -4m告m号m号-0 故0=2kT或p=2k元或0+P=2k元，k是整数.由此名1=2或2=3或 2g=1 如果1=2，则有 1+号+会=1()+1-0会= 2 21 laz1+622+Cz3l=z1la+b+icl=V(a+b)2+c2 同理，如果2=名，则 laz1+b22+cz3l=V(b+c)2+a2. 如果3=，则 laz1+bz2+cz3l=V(a+c)2+b2. 习题1 注以下各题中涉及的坐标系均为直角坐标系。 1.设A=M证明：对任意一点O,O成=O+O) 2.设O为一定点，A,B,C为不共线的三点.证明：点M位于平面ABC上 的充分必要条件是存在实数1,2,3，使得 OM=k0A+k20B+ksOC,k1+k2+k3=1. 3.证明：向量a-b+c,-2a+3b-2c,2a-b+2c线性相关. 4.证明：三维空间中四个或四个以上的向量一定线性相关。 5.设e1,e2,e3为一组基 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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20 线性代数与解析几何学习辅导 (1)证明：a=e1+2e2-e3,b=2e1+e2+e3,c=3e1+2eg为-组基： (2)设c=3e1+xe2+2e3,当x取何值时，a,b,c共面？ 6.已知三点A(2,1,-1),B(3,5,1),C(1,-3,-3),问A,B,C是否共线？ 7.已知线段AB被点C(1,2,3)和D(2,-1,5)三等分，求端点A,B的坐标 8.已知向量a与Ox轴和0y轴的夹角分别是a=60°，B=120°，且a=2, 求a的坐标. 9.设a=(1,-2,4),b=(2,2,1),试计算ab,(a+b)·(a-b),(a-b)2 10.设三个向量a,b,c两两间的夹角均为45°，且a=1,bl=2,1c=3.求向 量a+2b-c的模. 1l.设a,b,c是满足a+b+c=0的单位向量，试求a·b+b·c+ca的值. 12.设向量a,b的夹角为60°，且la=1,1bl=2,试求(a×b)2,1(a+b)×(a-b)儿 13.设向量a=(1,-1,2),b=(2,3,-4),求a×b,(a+b)×(a-b). 14.一个四面体的顶点为A(1,2,3),B(-1,0,2),C(2,4,5),D(0,-3,4),求它的 体积. 15.判断下列结论是否成立，不成立时请举例说明. (1)若ab=0,则a=0或b=0 (2)若a×b=a×c,则必有b=c (3)(ab)c=a(b.c: (4)(ab)2=a2.b2: (5)(a+b)×(a+b)=a×a+2a×b+b×b: (6)(a×b)c=a×(b·c. 16.证明下列等式： (1)(a×b)2=a2b2-(a-b)2: (2)(a×b)×c+(b×c)×a+(c×a)×b=0. 17.证明共轭复数的下列性质： z=z2,1十2=万+互，212=万22 18设0+in01,求出 19.求下列和式： (1)1+cos0+cos20+.+cosn0; (2)sin+sin20+.+sin n0. 20.证明：1+122+a1-222=(1+|22)(1+|12) 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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