第1章向量与复数 11 同样 (a-4b)·(7a-2b)=0→7a2+862-30ab=0, (2) 联立(2)-(1)以及(1)×8+(2)×15，得 〔2362=46a-b→2a.b=b2 2a.b=a2 即 ab>0. 所以 (a.b)2=ia26, m的-专-景 故a和b的夹角为π/3. 例1.18已知点O(0,0,0),A(1,-1,2),B(3,3,1)及C(3,1,3),求： (1)AB,|AB|及AB的方向余弦： (2)△ABC的面积： (3)四面体OABC的体积. 解(1)由题意得 AB=(2,4,-1), |AB|=V22+42+(-1)2=V21 2 cosa=V厅cosB=V分s7=-V方 (2)因为AC=(2,2,1)而 i方k AB×AC=24-1=6i-40-4 221 所以△ABC的面积为 西×A1=2V+(-4+(= 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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2 线性代数与解析几何学习辅导 (3)混合积为 1-12 (0A×0B)OC=331=2. 313 所以四面体OABC的体积为 OAxO-od1=号 例1.19设a=(1,-2,3),b=(2,-3,1),求同时垂直于a和b且在向量 c=(2,1,2)上的投影是7的向量. 分析由向量积的定义可知，同时垂直于a和b的向量x=(a×b).求出入 即可. 解由于 i j k a×b=1-23 =(7,5,1), 2-31 所以 x=(7入，5入，入)： 又因为 Prix=7, 也即 14入+5入+2入 V22+1242元=7 解得入=1，所以x=(7,5,1) 例1.20已知a×x=b,a·x=(入≠0)，求x. 解由于 a×(a×x)=a×b, 即 (ax)a-(aa)z=a×b, 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 13 ax=入， 代入整理得 |a2x=a-a×b 故 -aj(Aa-ax8). 例1.21设a=(1,-2,2).b=(-2,1,1),c=(-2,1,2).问满足a×x=b或 a×x=c的向量x是否存在？若存在，求出x的坐标. 解由ab≠0知a与b不垂直，因此满足a×x=b的向量x是不存在的， 而满足a×x=c的向量x存在，是因为a·c=0. 设x=(a,2),由a×x=c得 方k 1-22 -2i+j+2k x y z 比较两边系数，可得方程 （-22-2y=-2 {2x-z=1 y+2x=2 解之得 x=ty=2-2t,之=2t-1, 即 x=(t,2-2t,2t-1),t∈F 满足a×x=c的向量x有无穷多个。 例1.22已知a1=(1,-2,3),a2=(2,a,1),a3=(2,-4,a, (1)如果a1⊥a2,则a是多少？ (2)如果a1∥ag,则a是多少？ (3)如果a1,a2,ag共面，则a是多少？ 解()由a11a2得a1a2=0,即2-2a+3=0,a=5/2. 1-23,即a=6 ②)由a/a得2=4=a 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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14 线性代数与解析几何学习辅导 (3)a1,a2,a3共面→ 1-23 2a1=a2-2a-24=(a+4)(a-6)=0. 2-4a 因此，当a=-4或a=6时a1,a2,ag共面 例1.23设a×B+B×y+y×a=0,证明：a,B,y共面. 分析共面的向量的混合积为零 证对等式a×B+B×Y+Y×a=0,两边用a作点积得 a·(a×B+B×y+y×a)=a.0, 即 a(a×B)+a(B×y)+a(y×a)=0. 由混合积运算性质：a·(a×B)=0,a·(Yy×a)=0,得 a·(B×Y)=0台a,B,Y共面. 例1.24已知(a×b)c=3,计算(a+b)×(b+c)·(c+a): 解由题意得 (a+b)×(b+c)(c+a) =(a×b+b×b+a×c+b×c)-(c+a) =(a×b)c+(a×c)c+(b×cc+(a×b)a+(a×c)a+(b×c)a =(a×b)c+(b×c)a =6. 例1.25证明：三个向量a,b,c共面的充要条件是 a.a ab a.c b.a b.bb.c=0. c.a c.b c.c 证先证必要性.设a,b,c共面，故存在不全为零的1,2，k3使得 kia+k2b+k3c=0. (1) 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 15 式(1)两边分别与a,b,c作内积，有 kia.a+k2a.b+k3a.c=(a,0)=0 %ba+k2bb+k3bc=(6,0)=0· kic.a+k2c.b+k3c.c=(c,0)=0 即齐次方程组 a·ax1+a·bx2+a·ct3=0 b.az1+b.bz2+b.czs =0 (2） c.az1+c.bz2+c-c3=0 有非零解x1=1,x2=k2,C3=k3 a.aa.b ac 于是系数矩阵行列式为零，即b.a b.bb.c=0. c.a c.b c.c 再证充分性.设方程组(2)的非零解为x1=1,x2=2,x3=3,令u= kia+k2b+kac. 由方程组(2)有 u .a=u.b=u.c=0, u2=u.(ka+k2b+k3c)=0. 得到u=0,即存在不全为零的k1,k2,g使得 kia+k2b+k3c=u=0. 所以，a,b,c共面 例1.26设a×B=y×6,a×y=B×6,证明：a-6与B-y平行 证由题意得 (a-6)×(B-Y)=a×(B-Y)-6×(B-y)=a×B-a×y-6×B+6×y =Y×6-B×6-6×B+6×y =Y×6-B×6+B×6-y×6=0 所以a-6与B-Y平行. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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