6 线性代数与解析几何学习铺导 当ab=0台a⊥ba1b1+a2b2+agbg=0,即a与b垂直 两向量的夹角 a.b a1b1+a2b2+a3b3 cs0=a西-V+吗+aV保+喝+喝 数量积的运算性质：对向量a,b,c及实数入，有 a.b=b.a, (a+b).c=a.c+b.c, (Xa).b=A(a.b)=a.(Xb), a2=aa≥0，等号成立当且仅当a=0. 2.向量的向量积 两个向量的向量积a×b是一个向量.向量积也称为叉乘、外积.它的方向 与a,b都垂直，且使a,b,a×b构成右手系；它的模等于以a,b为边的平行四边形 的面积，即 a×b=absin0, 其中0为a,b间的夹角 在直角坐标系下，给定两个向量a=a1i+a2j+gk,b=b1i+b2j+bgk,则 a xb=(a263-a362)i-(a1b3-a3b1)j+(a1b2-a261)k, i j aa a时：-a,ali+ailk. ax-a a s ba i- j+ b1 b2 b3 向量积运算性质：设a,b,c为三个向量，入为实数，有 a×b=-b×a, (Aa)×b=A(a×b)=a×(b), (a+b)×c=a×c+b×c. 3.向量的混合积 给定三个向量a,b,c,称(a×b)c为a,b,c的混合积.它是一个数量.也记为 (a.b,c). 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 7 混合积的几何意义：(a×b)·c表示的是以a,b,c为棱的平行六面体的“有向 体积”即：当a,b,c为右手系时，就是六面体的体积；当a,b,c为左手系时，它是 六面体体积的相反数.a,b,c共面÷(a,b,c)=0. 在直角坐标系下，设a=(a1,a2,ag),b=(b1,b2,b3),c=(C1,c2,c),有 a1 a2 a3 (a,b,c)=(axb).c=b1 b2 b3. C1 C2 C3 混合积运算性质：设有向量a,b,c及实数入，有 (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b), (a,a,b)=(a,b,a)=(a,b,b)=0, (a,b,c)=-(b,a,c, (Aa,b,c)=X(a,b.c): (a1+a2,b,c)=(a1,b,c)+(a2,b,c) 向量a1={z1,劝，2={z2,2,2,g={x3,g2}共面 T12T3 片混合积(@1，a2,ag)=0分 班2g=0 12223 台存在不全为零的数1，k2,使：@1+k2a2十k3@3=0. 例题分析 例1.8用向量证明余弦定理. 证在△ABC中，设AB=a,AC=B,BC=y=B-a,则 y2=(B-a)(B-a)=B2+a2-2aB, lBCI2=lAC12+ABI2-2ACIIlABII CosZA. 注当c0s∠A=元/2时即为勾股定理. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析几何学习辅导 例1.9设向量a=(2,2,1),b=(1,2,-2),c=3,计算沿着向量a和b夹角 平分线方向的向量c的坐标， 解由题意得 。=日-2,2.=9=，2-2 b c=a0+6°=33.4，-1，d=V2/3, c=龙=。=±高a4- 9 例1.10下列各式对吗？为什么？ (1)aa.a=a3 (2)(a-b)2=a2.b2: (3)(a+b)x(a-b)=a×a-b×b=0 (4)若a≠0，ab=ac,则b=c: (⑤)若a≠0，a×b=a×c,则b=c. 解(1)不对.(1)式两端都是没有意义的，既没有三个向量的数量积的定义， 也没有a3的定义，我们曾规定了a2=aa,它实际上表示la2. (2)不对.(2)式左端为 (a.b)2 (lallbl cos(a,b))2=la262cos2(a,b). 可见，只有当a∥b时(2)式才成立. (3)不对.(3)式是套用实数的平方差公式而得的，但由于两向量的叉乘虽满 足分配律，但不满足交换律，因此，这些公式对叉乘运算不成立，事实上，有 (a+b)x(a-b)=(a+b)×a+(a+b)×(-b) =b×a-a×b=2b×a. (4)、(⑤)不对.(4)、（⑤）两式是套用实数的消去律，由于两向量的点乘、叉乘 运算都没有逆运算，因此，这种消去律是不成立的.事实上，由（④）式可得 a(b-c)=0. 从而 a⊥(b-c). 由（⑤）式可得 a×(b-c)=0. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 于是 a∥(b-c. 例1.11证明下面恒等式： (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). 并说明它的几何意义， 证由题意得 左边=(a2+b2+2ab)+(a2+b2-2ab) =2(a2+b2)=右边. 几何意义：平行四边形对角边的平方和等于四边的平方和. 例1.12设a=(5,6,7),b=(2,-2,1),求a在b上的投影向量及投影向量的 长度. 解由题意得 1b1=V22+22+1=3,b°=(2/3，-2/3,1/3) Prj6a=ab°=5-2/3+6-(-2/3)+7/3=5/3 例1.13已知la=2,b=V2,且ab=2,计算la×b. 解由向量积的定义有a×bl=asin0;由数量积的定义有ab= 1ab|cos0=2,则 cos0=v2 2 →sim0=3 2 得 lax=2.v2.V 2-2 例1.14已知三角形的顶点A(1,2,3),B(3,4,5),C(-1,-2,7),求△ABC的 面积. 解设所求三角形的面积为S,则由向量积的定义可知 S=与AB×A记 但 AB=(2,2,2),AC=(（-2,-4,4), 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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0 线性代数与解析几何学习辅导 jk 4B×AC 22 22 222= 22k -44 -24 -2-44 +-2-4 =16i-12-4k 所以 s=2V10+(-12p+(-4=2V2 例1.15已知四面体的四个顶点为A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5),D(2,4,7) 试求该四面体的体积 解容易看出，所求四面体的体积V是以AB,AC,AD为邻边的平行六面体 的体积的1/6，故 V=(AB×AC,AD1 而 AB=(2,3,3),AC=(2,44),AD=(1,3,6). 所以 233 (AB×AC)AD=244=6. 136 于是得到V=1. 例1.16试证恒等式 (a×b)2+(a.b)2=a2b2 证设a和b夹角为p,则 (a x b)2+(a.b)2 a2b2sin2+a2b2cos2o a2b2. 例1.17若向量a+36垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b, 求两向量a和b的夹角. 解因为 (a+3b)⊥(7a-5b), (a+3b)-(7a-5b)=0→7a2-15b2+16ab=0. (1) 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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